问题是经典概率问题的复杂形式:
70 colored balls are placed in an urn,10 for each of the seven rainbow colors. What is the expected number of distinct colors in 20 randomly picked balls?
我的解决方案是python的itertools库:
combos = itertools.combinations(urn,20),
打印总和([1 for x in combos])
(其中urn是urn中70个球的列表).
我可以将迭代器解压缩到一定长度的组合(urn,8),而我的计算机无法处理它.
注意:我知道这不会给我答案,这只是我脚本中的路障,换句话说,如果这有效,我的脚本就可以了.
问题:如果没有世界上最快的超级计算机,我怎样才能准确找到预期的颜色?我的计算方式是否可行?
解决方法
7(1 - (60 choose 20)/(70 choose 20))
为了得到这个写X,存在的颜色的数量,作为和X0 X1 X2 … X6,其中,如果存在第i颜色,则Xi是1,如果不存在,则是0.
E(X) = E(X0+X1+...+X6) = E(X0) + E(X1) + ... + E(X6) by linearity of expectation = 7E(X0) by symmetry = 7 * probability that a particular color is present = 7 * (1- probability that a particular color is absent) = 7 * (1 - (# ways to pick 20 avoiding a color)/(# ways to pick 20)) = 7 * (1 - (60 choose 20)/(70 choose 20))
Expectation is always linear.因此,当您被要求查找某个随机数量的平均值时,尝试将数量重写为较简单的部分(如指标(0-1)随机变量)的总和通常会有所帮助.
这并没有说明如何使OP的方法发挥作用.虽然有直接的数学解决方案,但最好知道如何以有组织和切实可行的方式迭代案例.如果您接下来想要一个比计数更复杂的颜色集合功能,这可能会有所帮助. Duffymo的回答提出了一些我会更明确的说法:
您可以将从70调用20个调用的方法分解为按颜色计数索引的类别.例如,索引(5,5,10,0)表示我们绘制了第一种颜色中的5种,第二种颜色中的5种,第三种颜色中的10种,以及其他颜色中没有颜色.
这组可能的指数包含在7元非负整数的集合中,其中总和20.其中一些是不可能的,例如(11,9,0)问题假设那里每种颜色只有10个球,但我们可以解决这个问题.一组7个元组的非负数加起来有20个大小(26个选择6)= 230230,它有一个natural correspondence,可以在26个空格中为分隔符或对象选择6个分隔符.因此,如果您有a way to iterate through the 6 element subsets of a 26 element set,则可以将这些转换为迭代所有索引.
你仍然需要通过从70得到20个球来获得这种情况的方法来计算重量. (a0,a1,a2,…,a6)的权重是(10选a0)(10选a1)…… *(10选a6).这可以优雅地处理不可能的索引的情况,因为10选择11是0所以产品是0.
因此,如果您不了解期望线性的数学解,则可以迭代230230个案例并计算索引向量的非零坐标数的加权平均值,并用小二项式的乘积加权.