P6274 [eJOI2017]六
Elly 正在研究关于 正整数 N 的一些性质,发现 N 有不多于 6 个不同的质因数。
接下来,她以一种特定的方式来生成的一个列表,一开始列表为空。她先写下了 N 的一个大于一的因数 x ,加入列表前,她先要确保 在所有已经在列表中的数中, 不能有 超过 1 个 数与 x 不互质。
举个例子,当 N=12156144 时:
合法的列表有:
而不合法的有:之一是 (5,11),原因是 5 不是 N 的因子;还有一个是 (66, 13, 143) ,原因是 143 与其他两个数都不互质。
现在 Elly 希望你计算出给定的 N,可以生成几个不同的合法的列表。答案对 10^9+7 取模。
若两个列表长度不同,或存在一个位置使得两个列表的该位置的值不同,那么我们说这两个列表不同的。
对于所有数据,保证 1\le N\le 10^{15},N 至多有 6 个质因数。
Tutorial
考虑如何转换 不能有超过 1 个数与 x 不互质 的限制。
注意到 N 至多只有 6 个质因数,因此如果对所有数质因数分解,将会只有至多 6 个状态(有/无该因子),将其压起来设为状态 S,判断是否互质即等价于判断其 S 的按位与是否非 0。
考虑使用一个三进制来表示状态,可以先预处理出所有状态对应的方案数 O(2^MM)。
每个状态包含 i 类数的数量以及与其不互质的数的个数。转移的话直接枚举 j 类数即可转移。
看上去状态数很多,实际上很少,因此可过((
Solution
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int M=7,X=1e9+7,N=1e7+10;
LL n,p[M];
int f[1<<M],c[M],cnt,g[N],Ans;
map<__int128,int> mp;
I int DFS(__int128 x){
if(mp.count(x)) return mp[x];
RI i,j,k,S=1,o;for(i=1;i<(1<<cnt);i++) if((k=(x>>(i<<1))&3)<2){
__int128 t=x;for(j=0;j<(1<<cnt);j++) i&j&&(x>>(j<<1)&3)<2&&(x+=((__int128)1<<(j<<1)),0);
if(!f[i]) for(f[i]=1,j=1;j<=cnt;j++) i>>j-1&1&&(f[i]=1LL*f[i]*c[j]%X);
S=(1LL*DFS(x)*f[i]%X+S)%X,x=t;
}return mp[x]=S;
}
int main(){
LL i;for(read(n),i=2;i*i<=n;i++) if(!(n%i)){
p[++cnt]=i;W(!(n%i)) n/=i,++c[cnt];
}n>1&&(p[++cnt]=n,c[cnt]=1);
return writeln(DFS(0)-1),0;
}