【NOIP2017模拟】道路设计

题目描述

最近市区的交通拥挤不堪，交通局长如果再不能采取措施改善这种糟糕的状况，他就不可避免地要被免职了。市区的道路已经修得够多了，总共n个站点，已经修了$n\ast (n-1)/2$条道路，也就是任意两个站点都有一条道路连接。但因为道路都很窄，也无法再加宽，所以所有的道路都是单向的。现在，交通局长认为导致交通拥堵的原因之一是存在环路。他决定改变一些道路的方向，使得不存在任何环路。但是，如果改动数量太多，市民们又要打电话投诉了。现在，请你帮帮他，尽量改动最少的道路的方向，使得整个交通网中没有环路。

输入格式

给出一个整数$n$，表示有$n$个点。接下来有一个$n$行$n$列的矩阵，如果第$i$行第$j$列为1，表示有一条从$i$到$j$的单向道路，如果为0，表示没有从$i$到$j$的单向道路。保证所有的数据合法。

输出格式

一个整数，表示最少需要改变的道路条数。

输入样例

4
0 0 0 0 
1 0 1 0 
1 0 0 1 
1 1 0 0

输出样例

1

数据范围

对于所有数据，$n\le 20$

题解

依题意，总共有$n\ast (n-1)/2$条单向边，而且任意两点之间不超过一条边，那么也就是说任意两点之间都有一条单向边。

有一个性质，在上述的有向图中不存在环的充要条件是：n个点的出度或入度互不相同，0到n-1在这些点的出度或入度中都有出现。

证明

首先必须要有一个点出度为0，因为如果所有点的出度不为0，则从任意一个点出发，可以一直走下去，这样必定会形成环。也不能有多个点出度为0，否则这两点之间就没有边，与上述内容不符。所以必须刚好有一个点出度为0，根据上文任意两点之间都有一条单向边，这个点的入度就是$n-1$。删掉这个点以及它的$n-1$条入边，我们就可以得到一个有$n-1$个点、$(n-1)\ast (n-2)/2$条边的有向图。根据同样的分析方法，新的图中只有一个点出度为0，那么这个点原来出度就为1。以此类推，一直这样下去，我们可以知道，出度为2、3、4…的点都只有一个。只有这样才能保证图中没有环。

做法

看到$n\le 20$，我们很容易想到状压DP。设$f(s)$表示达到$s$这个状态需改变边数量的最小值。$s$二进制中为1的位表示这个点的入度已经达到最大值，为0的位表示该点还未考虑。比如$s$二进制位中有3位为1，则为一的这三个点入度分别为$n-1,n-2,n-3$。$s$并没有规定每个点入度具体为多少，只表示了这个状态中有哪几个点已经达到最大值。

被标记为1的点已经达到了入度的最大值，它们在接下来的图中都不再起作用了，我们可以认为它们已经被删除了。

此时，任选$s$二进制中为0的位，设该位为$i$，其他的为0的位都向它连有向边。

这里要预处理需要改变方向的边的数量，记为$w_i$，则$f(s+2^i)=min(f(s)+w_i)$

总时间复杂度为$O(n{2}^n)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,inf=1000000000,a[25][25],w[25][1<<20],f[1<<20];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
        a[i][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int s=(1<<n)-2;s>=0;s--){
            for(int p=1;p<=n;p++){
                if(!((s>>(p-1))&1)){
                    w[i][s]=w[i][s|(1<<p-1)]+(!a[p][i]);
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for(int s=1;s<(1<<n);s++){
        f[s]=inf;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if((s>>i-1)&1) f[s]=min(f[s],f[s^(1<<i-1)]+w[i][s^(1<<i-1)]);
        }
    }
    printf("%d",f[(1<<n)-1]);
    return 0;
}