如何在cvx中表达log1+sum(1/x)

许多凸的表达式需要一定的转换才能在cvx中写出来，现在主要记录log（1+sum(1/x)）通过转换，如何在cvx中表示出来；
参考资料：cvx论坛； mosek工具手册（5.2.7）；mosek工具手册-harmonic mean(3.2.7)

原约束：$${\eta }_m\le {\gamma }_m-\log (1+\sum _{m^{\prime }=1}^{M_v}\frac{{\varphi }_{m^{\prime }}/{\sigma }^2}{l_{m^{\prime }}})$$
\log()表达式中，lm是变量，其他是常量。
上述是凸约束，但是无法在cvx中直接表达出来，需要转换；

利用log_sum_inv来转换，引入松弛变量$$o_m$$
得到
$$\begin{gathered} o_m\ge \log (1+\sum _{m^{\prime }=1}^{M_v}\frac{{\varphi }_{m^{\prime }}/{\sigma }^2}{l_{m^{\prime }}})， \\ {x}_0=1,x_1=\frac{l_1}{{\varphi }_1/{\sigma }^2},...,x_{m^{\prime }}=\frac{l_{m^{\prime }}}{{\varphi }_{m^{\prime }}/{\sigma }^2} \end{gathered}$$
因此，原约束可以重写为：
$$\begin{gathered} {\eta }_m\le {\gamma }_m-o_m, \\ {e}^{-o_m}\le s_m\le (\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{M_v}}{)}^{-1} \end{gathered}$$

根据harmonic-mean，上式约束后两项可以写为：
$$\sum _{m^{\prime }=1}^{M_v}\frac{s_{m^{\prime }}^2}{x_{m^{\prime }}}\le M_v{s}_m$$

最有，原约束可以转换为：
$$\begin{gathered} {\eta }_m\le {\gamma }_m-o_m, \\ {e}^{-o_m}\le s_m, \\ \sum _{m^{\prime }=1}^{M_v}\frac{s_{m^{\prime }}^2}{x_{m^{\prime }}}\le M_v{s}_m \end{gathered}$$
ps: x^2/t在cvx可以用quad_over_lin(x,t)表示，具体可参考cvx工具手册；