分析
这个题涉及到静态区间的最值,所以考虑用ST表解决, f 1 [ i ] [ j ] , f 2 [ i ] [ j ] f1[i][j],f2[i][j] f1[i][j],f2[i][j] 分别表示以 i i i 开头,长度为 2 j 2^j 2j 的区间最大/最小值的下标,下标就定义一个比较函数返回值即可。只需要nlogn的预处理就行。递推式: f [ i ] [ j ] = m a x / m i n ( f [ i ] [ j − 1 ] , f [ i + ( 1 < < ( j − 1 ) ) ] [ j − 1 ] ) f[i][j]=max/min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]) f[i][j]=max/min(f[i][j−1],f[i+(1<<(j−1))][j−1])
然后只需要进行一边分治一边查询最值,对于一个区间[l,r],如果最小值在最大值的左边(包括既是最小值是最大值),那就将这一段划分为一个区间,显然整个区间的最小值只能作为某段开头,最大值只能作为某段结尾,也就是说这已经是一个最优段(不能向前或向后扩展)。如果最大值在最小值的左边那就划分为三段,分别是[l,max],[max+1,min-1],[min,r]。显然这里也是将整个大区间的最大值作为某段结尾,最小值作为某段开头。我们可以知道,最小的区间是长度为1的,这个作为边界。
注意:我们在比较最小值的时候要让相等的最小值取最左边那个,让相等的最大值取右边那个。在比较函数当中有这个细节。
另外,这个程序Windows是过不了构造数据的(300000~1降序排列),栈空间会爆掉,不知道实际评测怎么样
U p d a t e 1 : Update1: Update1: 我将分治的时候的实现改成了用BFS,就可以过掉构造数据了。
U
p
d
a
t
e
2
:
Update2:
Update2:
另外一种更好的方法就是用单调栈实现。我们考虑对于某一个数,以他为结尾的段的开头是哪个数。有两个限制条件:1. 中间不能有比他大的,记为wall,也就是说要找到前面第一个比他大的数作为范围。2. 在范围内找到最小的数当中最靠左边的那个。
所以考虑维护两个单调队列,一个递增一个递减,但是又看到队头并不会出队(没有范围限制),所以本质上是一个单调栈。递减的方便取出前面比他大的第一个数,然后在递增的栈当中找下标比wall大的第一个数,也就是最小数,因为单调性,所以可以用二分查找实现。复杂度 O ( n ∗ l o g 2 n ) O(n*log_2n) O(n∗log2n)
上代码
DFS:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,a[300010],ans;
int f1[300010][21],f2[300010][21];
int lg[300010];
int mx(int x,int y)
{
if(a[x]>a[y]) return x;
else return y;
}
int mn(int x,int y)
{
if(a[x]<=a[y]) return x;
else return y;
}
void dfs(int l,int r)
{
if(l>r) return;
int k=lg[r-l+1];
int s=mn(f2[l][k],f2[r-(1<<k)+1][k]);
int t=mx(f1[l][k],f1[r-(1<<k)+1][k]);
if(s<=t)
{
//cout<<s<<' '<<t<<endl;
ans++;
dfs(l,s-1);
dfs(t+1,r);
}
else
{
dfs(l,t);
dfs(t+1,s-1);
dfs(s,r);
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
f1[i][0]=i;
f2[i][0]=i;
}
lg[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int j=1;j<=lg[n];j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
f1[i][j]=mx(f1[i][j-1],f1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
f2[i][j]=mn(f2[i][j-1],f2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
dfs(1,n);
cout<<ans;
return 0;
}
BFS:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node
{
int l,r;
}b[100010];
queue<node> q;
int n,a[300010],ans;
int f1[300010][21],f2[300010][21];
int lg[300010];
int mx(int x,int y)
{
if(a[x]>a[y]) return x;
else return y;
}
int mn(int x,int y)
{
if(a[x]<=a[y]) return x;
else return y;
}
void bfs()
{
while(!q.empty())
{
node tmp=q.front();
q.pop();
if(tmp.l>tmp.r) continue;
int k=lg[tmp.r-tmp.l+1];
int s=mn(f2[tmp.l][k],f2[tmp.r-(1<<k)+1][k]);
int t=mx(f1[tmp.l][k],f1[tmp.r-(1<<k)+1][k]);
if(s<=t)
{
//cout<<s<<' '<<t<<endl;
ans++;
q.push((node){tmp.l,s-1});
q.push((node){t+1,tmp.r});
}
else
{
q.push((node){tmp.l,t});
q.push((node){t+1,s-1});
q.push((node){s,tmp.r});
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
f1[i][0]=i;
f2[i][0]=i;
}
lg[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int j=1;j<=lg[n];j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
f1[i][j]=mx(f1[i][j-1],f1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
f2[i][j]=mn(f2[i][j-1],f2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
q.push((node){1,n});
bfs();
cout<<ans;
return 0;
}
单调栈:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=300010;//这样定义数组就省了时间
int n,a[N],ans;
int up[N],down[N],top1,top2;
int pre[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
while(top1&&a[down[top1]]<=a[i]) top1--;//尽量放前面
down[++top1]=i;
int wall=top1-1;
while(top2&&a[up[top2]]>a[i]) top2--;//严格大于才行,尽量往后面放(增加可用长度)
up[++top2]=i;
int ff=upper_bound(up+1,up+top2+1,down[wall])-up;
pre[i]=up[ff];//存最前面的合法下标
}
for(int i=n;i>=1;i=pre[i]-1) ans++;
printf("%d",ans);
return 0;
}