NJU 2022 计算机拔尖（数学）测试 解题报告

难度很大，只会两道。

1

题意 对于一个大于 $1$ 的正整数 $n$，将它所有的因数排成一个环，使得每两个数之间仅差某个质数倍（即一个是 $x$ 一个是 $px$，其中 $p$ 是一个质数）。问对哪些 $n$ 可以做到？

解答　（来自 tzh 佬）对于 $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$，容易得到因数个数 $d=({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\cdots ({\alpha }_s+1)$。

把这 $d$ 个数围成一圈，记为 $a_1,a_2,\cdots a_d$。则 $a_i$ 和 $a_{i+1}$（认为下标循环）差奇数个质因子。循环一圈后，可知 $a_1$ 差与 $d$ 奇偶性相同个质因子。故 $d$ 为偶数。则必须存在 $1\le i\le s,{\alpha }_i$ 为奇数。

下面我们进行归纳证明：

容易发现，若 $s=1$ 即 $n=p_1^{s_1}$，当且仅当 $s_1=1$ 符合题意。

若 $s=2$，即 $n=p^{2s-1}{q}^t(s,t\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，用二元对 $(i,j),0\le i\le 2s-1,0\le j\le t$ 表示 $p^i{q}^j$。

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使用这样的策略即可完成一圈。

下面，若 $m$ 满足题意，下面证明 $p^k\cdot m$ （其中 $p\perp m$）满足题意。

容易知道 ${\sigma }_0(m)=2t$，设 $m$ 的排列为 $a_1,a_2\cdots ,a_{2t}$，对于所有的 $1\le i\le t$，在 $a_{2i-1}$ 和 $a_{2i}$ 之间插入 $a_{2i-1}p,a_{2i-1}{p}^2,\cdots ,a_{2i-1}{p}^k,a_{2i}{p}^k,a_{2i}{p}^{k-1},\cdots ,a_{2i}p$，即可满足题意。

故可归纳证明，当且仅当 $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$ 满足以下条件之一时，$n$ 满足题意：

1. $s=1$ 且 ${\alpha }_1=1$；
2. $s\ge 2$，且存在 $1\le i\le s$，${\alpha }_i$ 为奇数。

思路 考虑简单的情况，然后进行归纳证明。

2

题意 一个函数 $f$，定义域是整数集，取值也是整数。已知对所有 $x,y\in \mathbb{Z}$，有 $f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1$，且 $f(1),f(2)$ 都不为 $f$ 最大值，求所有满足条件的 $f$。

解答 首先我们先试一试一次函数。

尝试 $f(n)=kn+b$ 是否符合条件。展开原式可得

$$\begin{array}{rl}f(x-ky-b)=& f(kx+b)-ky-b-1\\ kx-k^{2}y-kb+b=& k^{2}x+kb+b-ky-b-1\\ (k-k^2)x+(k-k^2)y=& 2kb-b-1\end{array}$$

于是

$$\{\begin{array}{l}k-k^2=0\\ 2kb-b-1=0\end{array}$$

故
$$\{\begin{array}{l}k=0\\ b=-1\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}k=1\\ b=1\end{array}$$

于是 $f(n)=-1$ 或 $f(n)=n+1$

由于 $f(1),f(2)$ 都不是最大值，所以仅有 $f(n)=n+1$。

（以上都是猜测）

下面来严格证明仅有 $f(n)=n+1$ 符合题意。

设 $g(n)=n+1-f(n)$，则 $f(n)=n+1-g(n)$。代入原式化简有

$$\begin{array}{rl}f(x-f(y))=& f(f(x))-f(y)-1\\ f(x-y-1+g(y))=& f(x+1-g(x))-y-1+g(y)-1\\ x-y-1+g(y)+1-g(x-y-1+g(y))=& x+1-g(x)+1-g(x+1-g(x))-y-1+g(y)-1\\ g(x-y-1+g(y))=& g(x)+g(x+1-g(x))\end{array}$$

1. 若 $g(n)$ 恒等于一个常数，即恒等于 $0$，符合题意，求得 $f(n)=n+1$；
2. 若 $g(n)$ 不恒等于一个常数，则发现上式随着 $y$ 的变化等式恒成立，则 g ( y ) − y − 1 = c g(y)-y-1=c g(y)−@H_976_4404@y−1=c，$g(n)=n+1+c$，$f(n)=-c$，容易推得 $f(n)=-1$，不合题意。

综上，满足条件的 $f(n)$ 仅有 $f(n)=n+1$。

思路 大胆猜想，小心求证。

3

题意 设 $S_n=1!+2!+\cdots +n!$，$P$ 为满足 $p$ 是素数，且存在 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得 $p\mid S_n$ 的 $p$ 的集合，求证 $P$ 是无限集。

解答

这题听说是 RMO 2012 的一道陈题的改编题。谁做得出来啊。

用 $v_p(n)$ 表示 $n$ 的分解式中素数 $p$ 的幂次。

当 v p ( n ) ≠ v p ( k ) v_p(n)\ne v_p(k) vp​(n)@H_422_5020@@H_164_5026@=vp​(k)，则 v p ( n ± k ) = min ⁡ { v p ( n ) , v p ( k ) } v_p(n\pm k)=\min\{v_p(n),v_p(k)\} vp​(n±k)=min{vp​(n),vp​(k)}。

引理：如哦存在对于某个正整数 $n$ 满足 $v_p(S_n)<v_p((n+1)!)$，则对任意 $k\ge n$，有 $v_p(S_k)=v_p(S_n)$。

反设 $P$ 有上界 $K$，则对任意正整数 $n$，$S_n$ 的所有质因子均小于 $K$。

对于任意素数 $p<K$，如果存在某个正整数 $m$，使得 $v_p(S_m)<v_p((m+1)!)$，即根据引理，存在 $H_p$，使得 $v_p(S_n)\le H_p,n\ge 1$ ，那么称 $p$ 为“小素数”；否则称这样的 $p<K$ 为“大素数”。

取定正整数 $M$，使得不等式 $M>p^{H_p}$ 对任意小素数成立。

对任意一个大素数 $p$，如果 $n+2$ 是 $p$ 的倍数，则由引理，

$$v_p(S_{n+1})\ge v_p((n+2)!)>v_p((n+1)!)$$

这推出（注意到 $2$ 显然是小素数）

$$v_p(S_n)=v_p(S_{n+1}-(n+1)!)=v_p((n+1)!)=v_p(n!)$$

令 $N=MK!-2$，则上述论证表明 $v_p(S_N)=v_p(N!)$ 对任意大素数 $p$ 成立。又因为 $N\ge K$，对小素数来说 $v_p(S_N)\le v_p(p^{H_p})\le v_p(N!)$，而 $S_N$ 所有的素因子不是小素数就是大素数，这表明 $S_N\le N!$，矛盾。

思路 玄之又玄。

4

题意 两个数组 $A[0\cdots 2022],B[0\cdots 2022]$，各有 $2023$ 个元素。$A[i],B[i]$ 取值均为自然数。如果 $A$ 中恰有 $k$ 个数等于 $v$，则 $B[v]=k$；如果 $B$ 中恰有 $k$ 个数等于 $v$，则 $A[v]=k$。已知 $A[0]<B[0]$，求证 $A[2020]=1$。

解答

容易知道 ${\sum }_{i=0}^{2022}A[i]=2023$，${\sum }_{i=0}^{2022}B[i]=2023$，设 $A[0]=p,B[0]=t$，则 $B$ 有 $p$ 个元素是 $0$，且 ${\sum }_{i=1}^{2022}B[i]=2023-t$。又 $B[1\cdots 2022]$ 这些元素中有 $2022-p$ 个非零，于是 $2022-p\le 2023-t$，故 $p\ge t-1$；又 $A[0]<B[0]$ 即 $p<t$，故 $t-1\le p<t$，故 $p=t-1$。

得到 $A[0]=t-1,B[0]=t$。于是 $B[1\cdots 2022]$ 中有 $t-1$ 个 $0$，$2023-t$ 个非零。记 $B[1\cdots 2022]$ 中的非零元素为 $B[p_1],B[p_2],\cdots ,B[p_{2023-t}]$，故 ${\sum }_{i=1}^{2023-t}B[p_i]=2023-t$，故 $B[p_i]=1$。于是得到，除 $B[0]=t$ 外， B [ i ] ∈ { 0 , 1 } , 1 ≤ i ≤ 2022 B[i]\in\{0,1\},1\le i\le 2022 B[i]∈{0,1},1≤i≤2022，且有 $t-1$ 个 $0$，$2023-t$ 个 1。于是有 $A[0]=t-1,A[1]=2023-t,A[B[0]]=A[t]=1$，其余的 $A[i]$ 为 $0$。

容易证明 $t-1,2023-t,1$ 任意两个不可相等，于是 $B[t-1]=B[2023-t]=B[1]=1,B[0]=t$，其余为 $0$。故 $1+1+1+t=2023$，$t=2020$。故 $A[B[0]]=A[2020]=1$。

思路 根据定义设出未知，然后小心证明。