Prefix Median
题目链接:luogu AT2366
题目大意
给你一个长度为 2n-1 的序列,你可以任意排序它们,问你有多少个不同的 b 数组。
b 数组的第 i 位为 a 数组 1~2i-1 区间的数的中位数。
思路
考虑
b
b
b 的限制,你考虑
b
i
b_i
bi 跟
b
i
−
1
b_{i-1}
bi−1 的区别。
就是每次加入两个数,如果都在当前中位数左边中位数左移,都在右边就右移,一左一右就不变。
所以中位数只会左右移一格,所以如果我们把
a
a
a 排序,那:
a
n
−
i
+
1
⩽
b
i
⩽
a
n
+
i
−
1
a_{n-i+1}\leqslant b_i\leqslant a_{n+i-1}
an−i+1⩽bi⩽an+i−1
那你接下来就是要满足每次至多移动一个位置。
也就是我们可以不用管
a
a
a 放的情况,你就如果要
a
a
a 某个位置就跨过去,然后那中间的位置就是先不放进去。
也就是说我们只需要限制向内走的情况。
那仍然不好处理,考虑反过来,那我们确定了
b
i
,
b
i
+
1
b_i,b_{i+1}
bi,bi+1 的时候,就不能再用
(
b
i
,
b
i
+
1
)
(b_i,b_{i+1})
(bi,bi+1) 的数字了。
那我们就可以 DP 了,设
f
i
,
j
,
k
f_{i,j,k}
fi,j,k 为当前弄好了
i
i
i 个,左边有
j
j
j 个右边有
k
k
k 个。
然后每次加入新的两个,注意到可能会是一样的,那一样的是同一个应该要,所以你
j
,
k
j,k
j,k 这连个不能加。
然后就分不变位置,左移和右移,然后左移右移你要枚举走到的位置。
然后复杂度 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4) 没毛病。
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
const int N = 105;
int n, a[N];
ll f[N][N][N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n * 2; i++) scanf("%d", &a[i]);
sort(a + 1, a + 2 * n);
f[0][0][0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int L = a[n - i + 1] != a[n - i], R = a[n + i] != a[n + i - 1];
for (int j = 0; j <= 2 * n; j++)
for (int k = 0; k <= 2 * n; k++) {
(f[i][j + L][k + R] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
for (int num = 0; num < j + L; num++)
(f[i][num][k + R + 1] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
for (int num = 0; num < k + R; num++)
(f[i][j + L + 1][num] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
}
}
ll ans = 0;
for (int i = 0; i <= 2 * n; i++)
for (int j = 0; j <= 2 * n; j++)
(ans += f[n - 1][i][j]) %= mo;
printf("%lld", ans);
return 0;
}