Educational Codeforces Round 133 D. Chip Move题解

D. Chip Move

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标签：dp

题意：

• 给出一个n和一个k，(1≤k≤n≤2e5)
• 从0开始向右移动，第i步的步长必须是(i+k-1)的整数倍
• 问对于从0移动到1~n中的每个数对应的方案数

思路：

首先尝试随便写个dp研究研究，过样例再说

vector<long long> ans(n + 1);
//dp[j][i] 计入用i步从0走到j的方案数 ans计入每个数的总方案数
for (int j = k; j <= n; j += k) ans[j]=dp[j][1] = 1;
//假设k=1,n=2e5 根据(1+step)*step/2<=n,最大步数不会超过1000
for (int i = 2; i <= 1000; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int t = k + i - 1; t <= j; t += k + i - 1) {
            dp[j][i] += dp[j - t][i - 1];
            //t为k+i-1的倍数
            //易得所有走i-1步到j-t的方案数之和即为走i步到j的方案数
        }
        ans[j] += dp[j][i];
    }
}

下面思考如何优化dp
由上可得dp[j][i]为所有dp[j-t][i-1]之和
那么可推dp[j+k+i-1][i]为所有dp[j-t+k+i-1][i-1]之和
由此可推 dp[j+k+i-1][i] = dp[j][i] + dp[j][i-1]
有点前缀和的思想
这样我们就将复杂度优化到了（1000*n）
再将空间优化到2维 本题也就解决了

代码：

#define fst std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout << std::fixed << std::setprecision(20)
#define le "\n"
#define ll long long 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+50;
const int mod = 998244353;
 
int main() {
    int n, k; cin >> n >> k;
    vector<int> dp(n+1),tp(n+1);//dp上轮方案数，tp本轮方案数
    vector<int> ans(n + 1);
    dp[0] = 1;
    for(int j = 0; j < 1000; j++) {
        fill(tp.begin(), tp.end(), 0);
        for(int i=k;i<=n;i++) tp[i] = (dp[i-k]+tp[i-k])%mod;//关键转移方程 上文有解释
		for(int i=0;i<=n;i++) dp[i] = tp[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) ans[i] = (ans[i]+tp[i])%mod;
		k++;//直接将k表示为基数
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ans[i] << " ";
    }
 
    return 0;
}