树状数组和线段树都是用于处理动态区间问题的数据结构。
线段树：支持区间加法的同时区间乘法的同时区间查询区间和，以及最值。
线段树的适用范围相较于树状数组更加广泛，但树状数组相对于线段树简洁很多，且常数极小。
树状数组
树状数组的空间复杂度为O(n)，时间上单次查询为O（logn）。
首先我们需要知道这个定义：
lowbit（x）：表示x在二进制下从低位往高位数的第一个1（最低位有效1）
int lowbit(int x){return x&-x;}树状数组听起来是一个树形结构，但是实际上用一个长度与操作数组同样为n的数组存储就行了
我们令一个树状数组为t[n],则t[x]表示的是从数组下标为x-lowbit（x）+1到x之间数组元素的和
∴对于单点更新:
void update(int pos,int val){
while(pos<=n)
t[pos]+=val,pos+=lowbit(pos);
}那么如何求区间和呢？
我们先设sum初始化为0，用于记录数组下标为1~pos的元素之和
树状数组最需要我们理解的一点，就是t[x]表示a[x-lowbit(x)+1]至a[x]的和
那么如果我们要求数组下标为1~pos的元素之和，是不是每次让sum加上t[pos]后，pos变为(pos-lowbit（pos）+1)-1，即pos=pos-lowbit（pos）就可以了？
因为t[x]表示t[x-lowbit(x)+1]到t[pos]的和，每次让pos跳转到这个区间的前一位((x-lowbit(x)+1)-1=x-lowbit(x))就可以了?
计算l~r的和的话，简单的容斥一下：query（r）-query（l-1） 就可以了。
int query(int pos){
int sum=0;
while(pos)
sum+=t[pos],pos-=lowbit(pos);
return sum;
}例题 树状数组1
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
输入格式
第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。
接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。
代码如下:
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=500001;
ll n,m,x,a,b,t[maxn];
ll lowbit(ll x){return x&-x;}
void update(ll pos,ll val){
while(pos<=n)
t[pos]+=val,pos+=lowbit(pos);
}
ll query(ll pos){
ll sum=0;
while(pos)
sum+=t[pos],pos-=lowbit(pos);
return sum;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%lld",&x);
update(i,x);
}
while(m--){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&a,&b);
switch(x){
case 1:
update(a,b);
break;
default:
printf("%lld\n",query(b)-query(a-1));
break;
}
}
return 0;
}线段树
线段树的空间复杂度>=2*n,通常需要4*n避免RE，单次查询时间复杂度为O（logn）
第一次听起来非常容易理解:这是一棵树:树上任意一点都有t[x].l与t[x].r，此节点表示数组下标为t[x].l到t[x].r的元素之和
(1,8)
(1,4) (5,8)
(1,2) (3,4) (5,6) (7,8)
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8)
也就是他的左儿子的值加上他的右儿子的值
const int maxn=100001;
struct node{
ll l,r,x,upd;
}t[maxn<<2];//maxn<<2等同于maxn*2*2 (maxn*4)他的左儿子表示x*2，右儿子表示x*2+1
则t[x*2].l=t[x].l,t[x*2].r=(t[x].l+t[x].r)/2;
t[x*2+1].l=(t[x].l+t[x].r)/2+1,t[x*2+1].r=t[x].r
建树时递归到l==r时不再递归，这个节点的值就是a[l]的值
int build(int pos,int l,int r)
{
t[pos].l=l,t[pos].r=r;
return t[pos].x=(l==r?a[l]:build(pos<<1,l,l+r>>1)+build(pos<<1|1,(l+r>>1)+1,r));
}//x<<1等同于x*2,x<<1|1等同于x*2+1那么：问题来了
Q：那区间加法的时候时间复杂度不是n+logn的吗，这时应该怎么办呢？
A:Lazy_tag!
我们设有一棵线段树：
(1,8)
(1,4) (5,8)
(1,2) (3,4) (5,6) (7,8)
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8)
引进一个叫做lazy_tag的东西;
我们可以看到，从（1,8）开始更新，发现他的左右儿子都跟要更新的区间有关，继续递归下去
此时递归到了（1,4），（5,8）
这时！
我们发现区间（1,4）完全被我们要更新的区间1~4包含在内，于是我们就可以不用递归下去，直接在这层操作！
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
{
t[pos].x+=(t[pos].r-t[pos].l+1)*val,t[pos].upd+=val;
return;
}t[pos].x加上(t[pos].r-t[pos].l+1)*val,是因为这个区间一共有(t[pos].r-t[pos].l+1)个元素，每个元素都加上val，即(t[pos].r-t[pos].l+1)*val
而t[pos].upd+=val表示这段区间内的每个数都加上val
我们又发现，区间(5,8)与我们要更新的1~4没有关系，故直接return
if(t[pos].l>r||t[pos].r<l)
return;除了完全包含和完全不包含外，还有两个区间一部分包括，一部分不重叠的情况
此时怎么办呢?
在这个时候，t[pos].upd(lazy_tag)的作用就体现出来了：
我们可以把这一层的标记细分给他的左儿子与右儿子
void push(int pos){
t[pos*2].x+=t[pos].upd*(t[pos*2].r-t[pos*2].l+1);
t[pos*2+1].x+=t[pos].upd*(t[pos*2+1].r-t[pos*2+1].l+1);
t[pos*2].upd+=t[pos].upd;
t[pos*2+1].upd+=t[pos].upd;
t[pos].upd=0;
}update内函数新增:
push(pos);
update(pos<<1,l,r,val);
update(pos<<1|1,l,r,val);最后我们更新了这个点的左右儿子，不要忘了再更新一下它自己：
t[pos].x=t[pos*2].x+t[pos*2+1].x;完整的区间加法代码:
void update(ll pos,ll l,ll r,ll val)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
{
t[pos].x+=(t[pos].r-t[pos].l+1)*val,t[pos].upd+=val;
return;
}
if(t[pos].l>r||t[pos].r<l)
return;
push(pos);
update(pos<<1,l,r,val);
update(pos<<1|1,l,r,val);
t[pos].x=t[pos<<1].x+t[pos<<1|1].x;
}区间查询也一样:往下搜索，搜索到完全被需要查找的区间覆盖的区间就直接返回这个区间的值，不相关就返回0，否则下放标记，继续往下查询：
int search(int pos,int l,int r)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
return t[pos].x;
if(t[pos].r<l||t[pos].l>r)
return 0;
push(pos);
return search(pos<<1,l,r)+search(pos<<1|1,l,r);
}模板 线段树1
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
输入格式
第一行包含两个整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。
接下来 m 行每行包含 3 或 4 个整数，表示一个操作，具体如下：
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。
代码:
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100001;
ll n,m,x,l,r,k,a[maxn];
struct node{
ll l,r,x,upd;
}t[maxn<<2];
ll build(ll pos,ll l,ll r)
{
t[pos].l=l,t[pos].r=r;
return t[pos].x=(l==r?a[l]:build(pos<<1,l,l+r>>1)+build(pos<<1|1,(l+r>>1)+1,r));
}
void push(ll pos){t[pos<<1].x+=t[pos].upd*(t[pos<<1].r-t[pos<<1].l+1),t[pos<<1|1].x+=t[pos].upd*(t[pos<<1|1].r-t[pos<<1|1].l+1),t[pos<<1].upd+=t[pos].upd,t[pos<<1|1].upd+=t[pos].upd,t[pos].upd=0;}
void update(ll pos,ll l,ll r,ll val)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
{
t[pos].x+=(t[pos].r-t[pos].l+1)*val,t[pos].upd+=val;
return;
}
if(t[pos].l>r||t[pos].r<l)
return;
push(pos);
update(pos<<1,l,r,val);
update(pos<<1|1,l,r,val);
t[pos].x=t[pos<<1].x+t[pos<<1|1].x;
}
ll search(ll pos,ll l,ll r)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
return t[pos].x;
if(t[pos].r<l||t[pos].l>r)
return 0;
push(pos);
return search(pos<<1,l,r)+search(pos<<1|1,l,r);
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",a+i);
build(1,1,n);
while(m--){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&l,&r);
switch(x){
case 1:
scanf("%lld",&k);
update(1,l,r,k);
break;
default:
printf("%lld\n",search(1,l,r));
break;
}
}
return 0;
}也可以用树状数组过:
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100001;
typedef long long ll;
ll n,m,x,l,r,k,t[maxn],f[maxn];
ll lowbit(ll a){return a&-a;}
void update(ll pos,ll val)
{
for(ll i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
t[i]+=val,f[i]+=pos*val;
}
ll query(ll pos)
{
ll sum=0;
for(ll i=pos;i;i-=lowbit(i))
sum+=(pos+1)*t[i]-f[i];
return sum;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%lld",&x);
update(i,x);
update(i+1,-x);
}
while(m--){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&l,&r);
switch(x){
case 1:
scanf("%lld",&k);
update(l,k);
update(r+1,-k);
break;
default:
printf("%lld\n",query(r)-query(l-1));
break;
}
}
return 0;
}模板 线段树2
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面三种操作：
输入格式
第一行包含三个整数n,m,p，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。
第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。
接下来 m 行每行包含若干个整数，表示一个操作，具体如下：
操作 1： 格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数乘上 k
操作 2： 格式：2 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数加上 k
操作 3： 格式：3 x y 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和对 p 取模所得的结果
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 33 的结果。
涉及到区间乘法，但依旧是维护lazy_tag换汤不换药
代码:
#include<cstdio>
#define ls pos<<1
#define rs pos<<1|1
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100001;
ll n,m,p,x,l,r,k,a[maxn];
struct node{
ll l,r,x,upd,mul;
}t[maxn<<2];
ll build(ll pos,ll l,ll r){
t[pos].l=l,t[pos].r=r,t[pos].mul=1;
return t[pos].x=(l==r?a[l]:build(ls,l,mid)+build(rs,mid+1,r))%p;
}
void push(ll pos){t[ls].x=(t[ls].x*t[pos].mul+(t[ls].r-t[ls].l+1)*t[pos].upd)%p,t[rs].x=(t[rs].x*t[pos].mul+(t[rs].r-t[rs].l+1)*t[pos].upd)%p,t[ls].upd=(t[ls].upd*t[pos].mul+t[pos].upd)%p,t[rs].upd=(t[rs].upd*t[pos].mul+t[pos].upd)%p,t[ls].mul=t[ls].mul*t[pos].mul%p,t[rs].mul=t[rs].mul*t[pos].mul%p,t[pos].upd=0,t[pos].mul=1;}
void update(ll pos,ll l,ll r,ll val)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
{
t[pos].x=(t[pos].x+(t[pos].r-t[pos].l+1)*val)%p,t[pos].upd=(t[pos].upd+val)%p;
return;
}
if(t[pos].r<l||t[pos].l>r)
return;
push(pos);
update(ls,l,r,val);
update(rs,l,r,val);
t[pos].x=(t[ls].x+t[rs].x)%p;
}
void mul(ll pos,ll l,ll r,ll val)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
{
t[pos].x=t[pos].x*val%p,t[pos].upd=t[pos].upd*val%p,t[pos].mul=t[pos].mul*val%p;
return;
}
if(t[pos].r<l||t[pos].l>r)
return;
push(pos);
mul(ls,l,r,val);
mul(rs,l,r,val);
t[pos].x=(t[ls].x+t[rs].x)%p;
}
ll search(ll pos,ll l,ll r)
{
if(t[pos].l>=l&&t[pos].r<=r)
return t[pos].x;
if(t[pos].l>r||t[pos].r<l)
return 0;
push(pos);
return (search(ls,l,r)+search(rs,l,r))%p;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
for(ll i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",a+i);
build(1,1,n);
while(m--){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&l,&r);
switch(x){
case 1:
scanf("%lld",&k);
mul(1,l,r,k);
break;
case 2:
scanf("%lld",&k);
update(1,l,r,k);
break;
default:
printf("%lld\n",search(1,l,r));
break;
}
}
return 0;
}题目描述
给定一个长度为 N 的数列，和 M 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。
输入格式
第一行包含两个整数 N,M，分别表示数列的长度和询问的个数。
第二行包含 N 个整数（记为 ai），依次表示数列的第 i 项。
接下来 M 行，每行包含两个整数 li,ri，表示查询的区间为 [li,ri]。
输出格式
树状数组:
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100001;
inline ll read(){
ll x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57){if(ch=='-'){f=-1;}ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
ll max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
ll n,m,x,l,r,a[maxn],t[maxn],as[maxn];
ll lowbit(ll x){return x&-x;}
void update(ll pos){
while(pos<=n){
t[pos]=a[pos];
for(ll i=1;i<lowbit(pos);i<<=1)
t[pos]=max(t[pos],t[pos-i]);
pos+=lowbit(pos);
}
}
ll search(ll l,ll r){
ll sum=0;
while(r>=l){
sum=max(sum,a[r]),--r;
for(;r-lowbit(r)>=l;r-=lowbit(r))
sum=max(sum,t[r]);
}
return sum;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(ll i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
as[i]=max(as[i-1],a[i]);
update(i);
}
while(m--){
l=read(),r=read();
printf("%lld\n",as[r]!=as[l]?as[r]:search(l,r));
}
return 0;
}线段树:
#include<cstdio>
#define INF 1145141919810
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100001;
ll max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
inline ll read(){
ll x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57){if(ch=='-'){f=-1;}ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48; ch=getchar();}
return x*f;
}
ll n,m,sum,l,r,a[maxn],af[maxn];
struct node{
ll l,r,x;
}t[maxn<<2];
ll build(ll x,ll l,ll r)
{
t[x].l=l,t[x].r=r;
return t[x].x=(l==r?a[l]:max(build(x<<1,l,l+r>>1),build(x<<1|1,(l+r>>1)+1,r)));
}
void update(ll x)
{
if(!x)
return;
t[x].x=max(t[x<<1].x,t[x<<1|1].x);
update(x>>1);
}
void search(ll x,ll l,ll r)
{
if(t[x].l>=l&&t[x].r<=r)
{
sum=max(sum,t[x].x);
return;
}
if(t[x].l>r||t[x].r<l)
return;
search(x<<1,l,r);
search(x<<1|1,l,r);
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(ll i=1;i<=n;++i)
a[i]=read(),af[i]=max(af[i-1],a[i]);
build(1,1,n);
while(m--){
sum=-INF,l=read(),r=read();
if(af[r]!=af[l-1])
{
printf("%lld\n",af[r]);
continue;
}
search(1,l,r);
printf("%lld\n",sum);
}
return 0;
}还有几道例题:树状数组2
蒟蒻的第一篇，哪里有不对望指正%%%:)))
完结撒花~
