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第二章 矩阵
2.1 概念,运算
2.1.1 概念
矩阵,n阶矩阵,n阶方阵,零矩阵,同型矩阵(行数与列数分别相等),矩阵相等。
2.1.2 运算
- 加法:对应位置相加。要求矩阵同型。
- 数乘:全部位置乘数。
- 乘法:对应相加的A行乘B列 。要求A列数= B行数。
- 幂次:A的k次幂(乘k次自己)。要求A是n阶方阵。
2.1.3 运算法则
- 加法:满足交换律和结合律
- 乘法:满足结合律,分配律。但是不满足交换律。
- 数乘矩阵:满足结合律和分配律。
- 转置(行列互换):这个需要特别注意下。
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
(A+B)^T = A^T + B^T
(A+B)T=AT+BT
(
k
A
)
T
=
k
A
T
(kA)^T = k A^T
(kA)T=kAT
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(AB)^T = B^TA^T
(AB)T=BTAT
(
A
T
)
T
=
A
(A^T)^T = A
(AT)T=A
特例
- 对角线矩阵相乘,直接乘对角线上面的元素。
- n维列向量 × n维行向量 = n阶矩阵
- n维行向量 × n维列向量 = 1*1矩阵
疑问点
2.2 伴随矩阵,可逆矩阵
2.2.1 伴随矩阵
伴随矩阵:矩阵A对应行列式|A|的所有代数余子式构成的矩阵A*
注意:伴随矩阵第一行第二个的值 是 去除了第二行第一个的值的代数余子式。
相关公式:
A
A
∗
=
A
∗
A
=
∣
A
∣
E
AA^* = A^* A = |A|E
AA∗=A∗A=∣A∣E
( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = A ∣ A ∣ (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{A}{|A|} (A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣A
( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1}A^* (kA)∗=kn−1A∗
( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (A^*)^T = (A^T)^* (A∗)T=(AT)∗
∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ( n > = 2 ) (A^*)^* = |A|^{n-2}A (n>=2) (A∗)∗=∣A∣n−2A(n>=2)
秩:
r
(
A
∗
)
=
{
n
,
r
(
A
)
=
n
1
,
r
(
A
)
=
n
−
1
0
,
r
(
A
)
<
n
−
1
r(A^*) = \left\{\begin{matrix}n,r(A)=n \\ 1,r(A)=n-1 \\0,r(A)<n-1 \end{matrix}\right.
r(A∗)=⎩
⎨
⎧n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1
2.2.2 可逆矩阵
若AB = BA = E,则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵。
定理:
- 若A可逆,则 A的逆矩阵唯一(证明:加单位矩阵,再变形)
- A可逆 <=> |A|!=0
- AB均为n阶且AB = E,则BA = E (可逆)
求逆方法:
-
定义法:AB=E
-
用伴随关系:(适用2,3阶)
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A−1=∣A∣1A∗ -
初等行变换(A|E):右侧加一个等阶的单位矩阵,化简左侧的矩阵到单位矩阵,右侧的矩阵就是逆矩阵了。
-
分块对角线矩阵:左下角和右上角若为0矩阵,则可以令对角线上的矩阵分别求逆。
2.3 初等变换,初等矩阵
2.3.1 概念
-
初等变换:初等行变换 + 初等列变换
- 初等行变换:倍乘,互换,倍加
- 初等列变换:等价,同上。
-
初等矩阵:单位矩阵 经过 一次 初等变换 所得到的矩阵
- 倍乘初等矩阵:E(i(k))
- 互换初等矩阵: E(i,j)
- 倍加初等矩阵:E(ij(k))
-
行阶梯矩阵:A-m×n,满足:(看起来像阶梯)
- 零行在最底下
- 非零行的主元的列指标随行指标递增而严格增大。
-
行最简矩阵:
- 满足行阶梯
- 主元都是1 且 主元所在的列其他元素都是0.
-
矩阵等价,A经过有限次初等变换得到矩阵B,A等价于B.
- 充要条件:秩相等(r(A) = r(B))
2.3.2 重要结论
-
初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
-
初等矩阵 均是可逆矩阵,逆矩阵也是初等矩阵。
-
互换行的逆矩阵是它自己
E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E(i,j)^{-1} = E(i,j) E(i,j)−1=E(i,j) -
倍乘的逆矩阵是它的倒数
E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) E(i(k))^-1 = E(i(\frac{1}{k})) E(i(k))−1=E(i(k1)) -
倍乘的逆矩阵改成倍乘相反数
E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) ) E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k)) E(ij(k))−1=E(ij(−k))
-
-
初等矩阵P左乘矩阵A,其乘积PA,就是矩阵A作一次与P相同的行变换。
-
初等矩阵P右乘矩阵A,其乘积AP,就是矩阵A做一次与P相同的列变换。
2.4 分块矩阵
2.4.1 运算法则
-
分块矩阵的乘法:同正常矩阵的乘法。
-
分块矩阵的转置:大矩阵的转置+小矩阵的转置。
-
分块矩阵的n次方:
-
分块矩阵的逆:正对角线同上,负对角线需要调换AB的位置。
2.4.2 解题技巧
解题技巧1
遇到矩阵乘法,矩阵的幂,矩阵的逆都可以考虑。
解题技巧2
遇到方程组求解,可以考虑按列分块,遇到向量组的秩或按行分块后,转换成向量,秩的关系求解。
-
若AB = C,则C的行向量可以由B的行向量线性表出。
-
若给出AX = B,求X:
- 若A可逆,可以通过左乘一个A的逆。
- 若A不可逆,可以通过构造X的列向量,重新求小块变量。
2.5 方阵的行列式
主要用于抽象n阶方阵行列式的计算
1. 转置矩阵的行列式不变: ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ 1.转置矩阵的行列式不变: |A^T| = |A| 1.转置矩阵的行列式不变:∣AT∣=∣A∣
2. 数乘矩阵的行列式,是原行列式的 n 次方倍: ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ 2. 数乘矩阵的行列式,是原行列式的n次方倍:|kA| = k^n|A| 2.数乘矩阵的行列式,是原行列式的n次方倍:∣kA∣=kn∣A∣
3. 两矩阵相乘的行列式: ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ ∣ B ∣ 3. 两矩阵相乘的行列式:|AB| = |A|||B| 3.两矩阵相乘的行列式:∣AB∣=∣A∣∣∣B∣
3. 推论: ∣ A 2 ∣ = ∣ A ∣ 2 3.推论:|A^2| = |A|^2 3.推论:∣A2∣=∣A∣2
4. 逆矩阵的行列式关系: ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 4. 逆矩阵的行列式关系: |A^{-1}| = |A|^{-1} 4.逆矩阵的行列式关系:∣A−1∣=∣A∣−1
5. 伴随矩阵的行列式关系: ∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ n − 1 5. 伴随矩阵的行列式关系: |A^*| = |{|A|}A^{-1}|= |A|^{n-1} 5.伴随矩阵的行列式关系:∣A∗∣=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n−1
-
分块矩阵相乘:
-
特征根的公式:若A和B相似,则|A| = |B|
2.6 相关错题
好像都和秩有关,不知道后面会不会理解一点。
已知 A = [ 2 − 1 3 4 − 2 6 − 2 1 − 3 ] , 求 A 10 已知A = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \\ \end{matrix} \right] ,求A^{10} 已知A=⎣ ⎡24−2−1−2136−3⎦ ⎤,求A10
看到第一行和第三行等比例误以为是行列式直接等0了