矩阵变换在扩展EUCLID算法中的应用
摘要：对于给定的两个正整数a,b,如何确定两个整数u,v,使得 au+bv=gcd(a,b),这里gcd(a,b)表示a,b的最大公约数？本文利用矩阵变换给出两个算法用于求解u,v.
众所周知，对于给定的两个正整数a,求a,b的最大公约数可使用EUCLID算法，其依据是下面的引理。 为了表述方便,下面均用 a/b表a 除以b的商,a%b表a 除以b的余数.
引理1: 设a,b是两个给定的正整数,a>b. 则 gcd(a,b)=gcd(b,a%b).
引理1的证明可参见文献[1],这里略去.
我们称 为关于正整数a,b 的变换矩阵。注意到
=
记 a1=b,b1=a%b. 若b1≠0,则继续对 进行变换，
= =
记 a2= b1,b2=a1%b1. 若b2≠0,则继续对 进行变换，
… …
… = （1）
直到 ak%bk=0为止。
如此便可得到 gcd(a,b)=bk。记矩阵 … 为 。由等式（1）可得 = ， 即ua+vb=bk=gcd(a,b) 。因此只需计算出矩阵 ，…， ， 的乘积，便可求出u,v。
初始化 u0=0,v0=1,p0=1,q0=-a/b。若已求出 ，…， ， 的积为 ， 则 = … = = ,即uk=pk-1,vk=qk-1,pk=uk-1+(-ak/bk)pk-1,qk= vk-1+(-ak/bk)qk-1。
对于给定的两个正整数a, 从上面的讨论，我们可给出一个非递归的算法来求出两个整数u,b)。
int gcd(int a,int b,int *u,int *v )
/* 不妨设 a>b>0,用*u,*v返回所求的两个整数,函数将返回 gcd(a,b) */
{int tempu,tempv,tempa,p,q;
*u=0,*v=1,p=1,q=-a/b; /*初始化 *u,*v,q的值*/
while(1)
{ tempa=a; a=b; b= tempa%b; if (b==0)break;
tempu=*u,tempv=*v;
*u=p,*v=q,p= tempu +(-a/b)*p,q= tempv+(-a/b)*q;
}
return a;
}
这个扩展欧几里德在剩余定理里计算M的逆时有所运用。