一个无重复面值的找零算法的思路与实现

本题的另外一个解法请看：一个无重复面值的找零算法的思路与实现（二）

在论坛上看到有人问了一个类似的算法题：

给出升序排列的N个数字，比如1， 2， 3， 7， 70

找出无法被这组数字组成的最小正整数。（这组数字中每个数字最多使用一次）

（1）简单描述你的算法和思路。
（2）用C/C++实现

（3）分析你的代码的时间复杂度和空间复杂度

解题思路：

这个问题类似于一个硬币找零问题的升级版。现存在一堆面值为V1,V2,V3,...的硬币，每种面值的硬币只有一枚，现在需要为顾客找出总值为sum的零钱。问不能被找零的sum的最小值是多少？

方案1：

• 算法概述

最容易理解的实现方法是使用递归。

我们假定V1,... Vn是面值由小到大排列的所有币种。我们从sum等于1开始，递增的循环进行找零。

首先找出小于等于sum且最接近sum的面值Vm。然后得出sum-Vm的值，并对sum-Vm继续进行找零，找出小于等于sum-Vm且小于Vm的最接近面值。递归的找下去，如果连最小面值都被遍历到而sum仍然没被找完，则不能被找零。

若sum不能被无重复面值的找零，则sum即所求。否则，对sum+1进行递归的找零。

• 实现

如下是我用C语言实现的算法，可以直接运行。可以为values指定任意的一组升序面值。

[cpp] view plain copy

1. #include"stdio.h"
2. #include"conio.h"
3. staticintvalues[]={1,2,3,12};/*升序排列的所有面值*/
4. voidmain()
5. {
7. intsum;
8. /*如果最小的币值都大于1，则1必定不能被找零*/
9. if(values[0]>1){
10. printf("1istheminimum.\n");
11. }
12. else{
13. for(sum=1;;sum++){
14. inti,j;
15. /*找出最接近sum且不大于sum的面值在values数组中的下标*/
16. for(i=sizeof(values)-1;i>=0;i--){
17. if(values[i]<=sum){
18. j=i;
19. break;
20. }
21. if(recursion(j,sum-values[j])==-1){/*该sum不能被找零*/
22. printf("%distheminimum.\n",sum);
23. break;
24. };
25. getchar();
26. intrecursion(intj,intsum){
27. if(j<1&&sum>0)
28. return-1;/*不能被找零*/
29. if(sum==0)
30. return0;/*可以被找零*/
31. /*找出最接近sum且不大于sum，小于values[j]的面值在values数组中的下标*/
32. for(i=j-1;i>=0;i--){
33. if(values[i]<=sum){
34. k=i;
35. returnrecursion(k,sum-values[k]);
36. }

• 算法正确性证明

有同学 问我”首先找出小于等于sum且最接近sum的面值Vm“的这种做法是不是正确。会不会存在某些情况，sum的值大于Vm，但是并不能被包含Vm的硬币集合表示，反而可以被一组小于Vm的硬币集合表示呢？例如{ 1,5,6,7 }在判断11能否被找零的过程中会取Vm = 7，而sum - Vm = 11 - 7 = 4，4不能被找零，但实际上11可以由5,6找零。

然而实际上这种情况是不存在的。因为程序是从sum等于1开始对sum进行递增的判断，如果sum=k时不能被找零，则所求的最小值就是k，程序将不会继续往下进行。也就是说上段所说的情况是不存在的，因为4已经是所求的不能被找零的最小值，程序将跳出循环。

接下来我们来证明算法的正确性。

在sum=1或sum=2的情况下很明显，算法正确。根据数学归纳法，我们只需证明对于面值集G={ V1,...,Vn }，在sum=1,k（k>=1）都可以被正确找零的情况下，算法对sum=k+1的验证是正确的，即可证明算法正确。而要证明这点，我们只需证明递归算法是正确的，即 取不大于且最接近sum的Vm的做法是正确的。

首先我们证明一些辅助命题。如果嫌长也可以先看下面正题的证明再来查阅这两个辅助命题。

1.对于面值集G={ V1,Vn }，若G可以为1,Vm（m<=n）找零，则由G的前m个连续面值组成的子集A={ V1,...Vm}必定可以为1,Vm找零。

证明：首先能为sum=x找零的面值均小于等于x。（比如为5找零，零钱中肯定不会有6）。所以能为x找零的面值中可以不包含比x更大的面值。

若G能为x找零，则G中所有不大于x的面值的集合也能为x找零，因为大于x的面值在找零的时候根本不可能被用到。

已知面值集G可以为1,...Vm找零，因此G的所有不大于Vm的面值的集合也可以为1,...Vm找零。

得证。

2.对于面值集G={ V1,Vn }，1,k均可以被找零。其中q(1<q<=k)可以被G的前r个连续面值的集合A={ V1,...Vr}(r<=n)找零。证明1,q-1均可以被A找零。

证明：取A的所有不大于q的面值集合B={ V1,...Vt},由命题1得，B也可以为q找零。

设q=Va+Vb+...(其中Va,Vb,...为升序排列且均属于面值集合B)

1)若Va=1，则将为q找零的集合中的Va去掉即可表示q-1

2)若(Va)-1属于B，只需将q的找零集合中的Va替换成Va-1即可表示q-1.

3)若(Va)-1不属于B，由命题1可知B可以为1,...Vt找零。由于1<(Va)-1<Vt,所以(Va)-1可以被B找零。由命题1，(Va)-1也可以被B中所有不大于(Va)-1的面值的集合找零，即被C={ V1,...V(a-1)}找零。

由于q的找零面值组合中最小为Va，所以(Va)-1被C找零形成的面值集组合与q的面值集组合必没有重复。只需将为q找零的面值组合中的Va用为(Va)-1找零的面值组合代替，即可表示q-1

综上可得，q-1肯定可以被B找零。由于A包含B，所有q-1可以被A找零。

根据数学归纳法，可知q-2,...2,1均可以被A找零。得证。

接下来我们进入正题。
什么情况下取不大于且最接近sum的Vm的做法是正确的呢？ 事实上，在1,sum-1都可以被找零的情况下，若sum可以被小于Vm的一组面值集表示，则sum必定可以被包含Vm的一组面值集表示。
可以转化为对如下命题的证明：面值集G={ V1,Vn }，sum=1,k-1（k-1>=1）都可以被正确找零。G中最接近且不大于sum的面值为Vm。已知sum可以被最大为Vr的面值集找零，求证若V(r+1)<=sum，则sum可以被最大为V(r+1)的面值集找零。则根据数学归纳法，sum可以被最大为Vm面值集合找零。

证明：

由于sum可以最大为Vr的面值集合找零，令sum=Vr+(sum-Vr)，由于最大为Vr,所以(sum-Vr)可以被小于Vk的集合J={ V1,...V(k-1)}找零。

由命题2可知小于(sum-Vr)的自然数均可以被J找零。由于(sum-V(r+1))<(sum-Vr),因此(sum-V(r+1))可以被J找零。

由于(sum-V(r+1))被J找零的面值组合中肯定不包含V(r+1),因此sum可以表示为sum=V(r+1)+(sum-V(r+1)).即(sum-V(r+1))被J找零的组合再加上V(r+1)。

因此，若sum可以被最大为Vr的面值集找零，如果V(r+1)<=sum，则sum可以被最大为V(r+1)的面值集找零。

得证。

• 复杂度

（待续）