一、树
（1）树的定义:
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树（Tree）: n（n≥0）个结点构成的有限集合
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当n=0时，称为空树
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对于任一棵非空树（n> 0），它具备以下性质：
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树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用 root 表示；
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其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1，T2，... ，Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”
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注意:
子树之间不可以相交
除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
一棵N个结点的树有N-1条边
（2）树的结构
（3）树的优点：
树结构、数组和链表的对比
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数组:
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优点:
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数组的主要优点是根据下标值访问效率会很高.
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根据元素来查找对应的位置时先对数组进行排序, 再进行二分查找
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缺点:
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需要先对数组进行排序, 生成有序数组, 才能提高查找效率.
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另外数组在插入和删除数据时, 需要有大量的位移操作(插入到首位或者中间位置的时候), 效率很低.
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链表:
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优点:
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链表的插入和删除操作效率都很高.
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缺点:
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查找效率很低, 需要从头开始依次访问链表中的每个数据项, 直到找到.
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而且即使插入和删除操作效率很高, 但是如果要插入和删除中间位置的数据, 还是需要重头先找到对应的数据.
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树结构:
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不能说树结构比其他结构都要好, 因为每种数据结构都有自己特定的应用场景.
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但是树确实也综合了上面的数据结构的优点(当然优点不足于盖过其他数据结构), 并且也弥补了上面数据结构的缺点.
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而且为了模拟某些场景,使用树结构会更加方便. 比如文件的目录结构.
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（4）树的术语:
结点的度（Degree）：结点的子树个数
树的度：树的所有结点中最大的度数. (树的度通常为结点的个数N-1)
叶结点（Leaf）：度为0的结点. (也称为叶子结点)
父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
子结点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点(也称孩子结点)
兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点
路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1 , n2,… , nk, ni是 ni+1的父结点，路径所包含边的个数为路径的长度
结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1
树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度
二、二叉树
1）概念
- 树中每个节点最多只能有两个子节点, 这样的树就成为"二叉树"
二叉树的定义
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二叉树可以为空, 即没有结点
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不为空时它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的两个不相交的二叉树组成
二叉树的五种形态
注：c和d是不同的二叉树, 因为二叉树有左右之分
2）二叉树的特性
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一个二叉树第 i 层的最大结点数为：2^(i-1), i >= 1
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深度为k的二叉树有最大结点总数为： 2^k - 1, k >= 1
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对任何非空二叉树 T，若n0表示叶结点的个数、n2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0 = n2 + 1
3）特殊的二叉树
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完美二叉树(Perfect Binary Tree) , 也称为满二叉树(Full Binary Tree）
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在二叉树中, 除了最下一层的叶结点外, 每层节点都有2个子结点, 就构成了满二叉树
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完全二叉树(Complete Binary Tree)
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除二叉树最后一层外, 其他各层的节点数都达到最大个数
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且最后一层从左向右的叶结点连续存在, 只缺右侧若干节点
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完美二叉树是特殊的完全二叉树
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下面不是完全二叉树, 因为D节点还没有右结点, 但是E节点就有了左右节点
4）二叉树的存储
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二叉树的存储常见的方式是使用链表存储.
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链表存储:
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每个结点封装成一个Node, Node中包含存储的数据, 左结点的引用, 右结点的引用.
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三、二叉搜索树
1）概念
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二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树
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二叉搜索树是一颗二叉树, 可以为空
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如果不为空，满足以下性质：
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非空左子树的所有键值小于其根结点的键值
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非空右子树的所有键值大于其根结点的键值
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左、右子树本身也都是二叉搜索树
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2）特点
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二叉搜索树的特点就是相对较小的值总是保存在左结点上, 相对较大的值总是保存在右结点上
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查找效率非常高, 这也是二叉搜索树中, 搜索的来源
四、程序实现二叉搜索树
1）创建二叉搜索树类
//节点类
class Node {
constructor(data) {
this.left = null
this.data = data
this.right = null
}
}
//二叉搜索树类
class BST {
constructor() {
this.root = null
}
}2）二叉搜索树的操作
二叉搜索树常见的操作：
insert(key)：向树中插入一个新的键
search(key)：在树中查找一个键，如果结点存在，则返回true；如果不存在，则返回false
preOrderTraverse：通过先序遍历方式遍历所有结点
inOrderTraverse：通过中序遍历方式遍历所有结点
postOrderTraverse：通过后序遍历方式遍历所有结点
min：返回树中最小的值/键
max：返回树中最大的值/键
remove(key)：从树中移除某个键
（1） 向树中插入数据
insert(ele) {
//创建新节点
let newnode = new Node(ele)
if (this.root == null) {
//空树
this.root = newnode
} else {
this.insertNode(this.root, newnode)
}
}
insertNode(root, newnode) {
if (newnode.data < root.data) { //放左边
if (root.left == null) {
root.left = newnode
} else {
this.insertNode(root.left, newnode)
}
}else{ //放右边
if (root.right == null) {
root.right = newnode
} else {
this.insertNode(root.right, newnode)
}
}
}图示：
（2）遍历二叉搜索树
（1）preOrderTraverse：通过先序遍历方式遍历所有结点
遍历过程：
- 访问根结点
- 先序遍历其左子树
- 先序遍历其右子树
preOrderTraversal(){
this.preOrderTraversalNode(this.root)
}
preOrderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.根
console.log(root.data)
//2.前序遍历左子树
this.preOrderTraversalNode(root.left)
//3.前序遍历右子树
this.preOrderTraversalNode(root.right)
}
}（2）inOrderTraverse：通过中序遍历方式遍历所有结点
遍历过程:
中序遍历其左子树
访问根结点
中序遍历其右子树
inOrderTraversal(){
this.inOrderTraversalNode(this.root)
}
inOrderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.中序遍历左子树
this.inOrderTraversalNode(root.left)
//2.根
console.log(root.data)
//3.中序遍历右子树
this.inOrderTraversalNode(root.right)
}
}（3）postOrderTraverse：通过后序遍历方式遍历所有结点
遍历过程：
后序遍历其左子树
后序遍历其右子树
访问根结点
postOrderTraversal(){
this.postOrderTraversalNode(this.root)
}
postOrderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.后序遍历左子树
this.postOrderTraversalNode(root.left)
//2.中序遍历右子树
this.postOrderTraversalNode(root.right)
//3.根
console.log(root.data)
}
}