POJ 2152 Fire依赖型树形dp

题目链接：
POJ 2152 Fire
题意：
给一个$n$个节点和$n-1$条边的树，边权代表距离，要在这些点中选择一些点建立消防站，使得每个点都会被消防站覆盖到。每个点有两个属性：$cost[i]$表示在这个点建立消防站的代价，$limit[i]$表示当某个消防站离$i$的距离不超过$limit[i]$时，这个点就可以认为被该消防站覆盖，求使得$n$个点都被消防站覆盖的最小代价？
数据范围：$n\leq 10^3,边权\leq 10^3,cost[i]\leq 10^4,limt[i]\leq 10^4$
分析：
点依赖型树形$dp$。
首先对每个点$dfs$一遍可以得到每个点到其余点的距离，时间复杂度：$O(n^2)$。
然后递归解决以$u$为根的子树， 需要记录或者说枚举$u$被那个消防站覆盖，用$dp[u][i]$表示$u$被在点$i$上建立的消防站覆盖时以$u$为根的子树都被消防站覆盖的最优解。显然首先需要满足$<a href="https://www.jb51.cc/tag/dis/" target="_blank" class="keywords">dis</a>[u][i]\leq limit[u]$。考虑状态转移，对于$u$的每个儿子$v$，这时我们还需要知道解决以$v$为根的子树时的最优解$best[v]$,$best[v]$包含了$v$也被覆盖的最小代价。$v$选择的覆盖它的消防站有两种可能:是$i$或者不是$i$，所以有：

$$dp[u][i] += min(dp[v][i] - cost[i],best[v])$$
更新 $best[]$： $best[u]=min(best[u],dp[u][i])$
总的时间复杂度： $O(n^2)$。
陈启峰的”一张一弛，解题之道”论文

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int T,n,total;
int head[MAX_N],cost[MAX_N],limit[MAX_N],dis[MAX_N][MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_N],best[MAX_N];

struct Edge {
    int v,w,next;
}edge[MAX_N * 2];

void AddEdge(int u,int v,int w)
{
    edge[total].v = v;
    edge[total].w = w;
    edge[total].next = head[u];
    head[u] = totaL++;
}

void dfs_dis(int u,int p,int root)
{
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].v,w = edge[i].w;
        if (v == p) continue;
        dis[root][v] = dis[root][u] + w;
        dfs_dis(v,u,root);
    }
}

void wyr(int u,int p)
{
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].v;
        if (v == p) continue;
        wyr(v,u);      
    }   
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (dis[u][i] > limit[u]) continue;
        dp[u][i] = cost[i];
        //printf("dp[%d][%d] = %d\n",i,dp[u][i]);
        for (int j = head[u]; j != -1; j = edge[j].next) {
            int v = edge[j].v,w = edge[j].w;
            if (v == p) continue;
            dp[u][i] += min(dp[v][i] - cost[i],best[v]); 
        }
        best[u] = min(best[u],dp[u][i]);
        //printf("i = %d best[%d] = %d dp[%d][%d] = %d\n",best[u],dp[u][i]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        scanf("%d",&n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d",&cost[i]); }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d",&limit[i]); }
        total = 0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            AddEdge(u,w);
            AddEdge(v,w);
        }
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) { dfs_dis(i,i); }
        memset(best,0x3f,sizeof(best));
        memset(dp,sizeof(dp));
        wyr(1,0);
        printf("%d\n",best[1]);
    }
    return 0;
}