树形依赖动态规划

定义

树形依赖动态规划一般为背包问题，依赖就是指儿子依赖于父亲的树形动态规划，一般形式为只有选择了父亲节点才能选择儿子节点，对于这一种特殊的树形动态规划，有一种时间复杂度十分优秀的的方法可以解决此类问题。

举个例子

先来一道例题，给出一棵有$n$个点的树，$1$为根节点，选择第$i$个点的价值为$V_i$，付出的代价为$P_i$，只有选择了父亲节点才可以选择其儿子节点，最多可以付出的总代价为$M$，在不违反上述规定的条件下求最大化的总价值。
$N$,$M$≤$2$*$10^3$

普通做法

设$f_{i,j}$表示选择以$i$为根的这一棵子树，花费了$j$的代价时所能获得的最大代价。转移就很显然了分别枚举在i的所有儿子花费的代价，最后把自己选上即可。
由于每次合并的复杂度为$M^2$，总共合并$N$次，所以总时间复杂度为$O$($N$$M^2$)。

{
    int i,j,l,k;
    fo(i,1,g[o])dg(son[o][i]);
    fo(i,g[o])
    fd(j,m-P[o],P[son[o][i]])
    fo(l,P[son[o][i]],j)
    f[o][j]=max(f[o][j],f[son[o][i]][l]+f[o][j-l]);
    fd(i,m,P[o])f[o][i]=f[o][i-P[o]]+V[o];
}

特殊做法

上述做法显然会超时。
我们分析一下为什么这样做时间复杂度这么大了，每一次合并的时间复杂度为$M^2$，如果可以每次转移都能做到$M$的时间复杂度，那总时间复杂度就是$O$($NM$)，接下来就给出这种做法的具体做法。
首先求出整棵树的$dfs$序，并求出以$i$为根的字数大小$size_i$。
设$f_{i,j}$表示选到 第$i$个点时花费的代价为j时所能获得最大的价值，第$i$个点可选可不选。
按照$dfs$序从后往前做，如果当前点i不选，则第一个转移为$f_{i,j}$=$f_{i+{size}_i,j}$，表示继承它后一个兄弟的状态(兄弟即指它父亲的其他儿子)。
如果当前选择第$i$个点，则从$i$的对应的$dfs$序的下一位(记为$k$)转移过来，即$f_{i,j}$=$min$($f_{i,j}$,$f_{k,{j-P_i}}$+$V_i$)，仔细思考一下便可发现这样转移是正确的。

给出一张转移的简略草图，帮助理解。
注，黄色线表示第一种转移，即不选择第i个点的转移，红色线为第二种转移。