查找非重叠序列的最大覆盖范围的算法即加权间隔调度概率

问题描述

这是 算法。首先，如果元组数组尚未按此顺序排列，则按其起始位置对其进行排序。我假设从零开始的数组索引。

让我们调用元组ib（i）的开始位置和结束位置e（i），以使其总长度为e（i）-b（i）+1。还要定义一个函数next（i），该函数返回第一个元组的元组列表中的位置，可以显示在元组i的右侧。注意，可以使用二进制搜索在O（log n）的时间内计算next（i）：只需将所有元组的起始位置b（i）保留在数组b []中，然后在子数组b [中搜索第一个j i + 1 .. n-1]的b [j]> e（i）。

让我们将f（i）定义为 在 元组i 或之后 开始的任何不重叠元组的最大覆盖率。由于元组i本身是否处于此最佳集合中，因此我们具有：

f(i) = max(e(i) - b(i) + 1 + f(next(i)), f(i+1)) for 0 <= i < n

我们还有边界条件f(n) = 0。

显然，最大可能的覆盖范围由f（0）给出。这很容易计算。在伪C ++中：

int b[] = /* Tuple beginning positions, in nondecreasing order */;
int e[] = /* Tuple end positions */;
int n = /* Number of tuples */;

// Find the array position of the leftmost tuple that begins to the right of
// where tuple i ends.
int next(int i) {
    return upper_bound(b + i + 1, b + n, e[i]);
}

int maxCov[n + 1];    // In practice you should dynamically allocate this

// After running this, maxCov[i] will contain the maximum coverage of any
// nonoverlapping subset of the set of n - i tuples whose beginning positions
// are given by b[i .. n-1] and whose ending points are given by e[i .. n-1].
// In particular, maxCov[0] will be the maximum coverage of the entire set.
void calc() {
    maxCov[n] = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        maxCov[i] = max(e[i] - b[i] + 1 + maxCov[next(i)], maxCov[i + 1]);
    }
}

循环calc()运行n次，并且每次迭代都会对二进制搜索函数进行一次O（log n）调用upper_bound()。

我们可以通过计算f（0）的max（）的两个输入，查看哪个实际产生了最大值，记录是否暗示着元组0的存在，然后递归处理该大小，来构造一个实际大小的集合。余数（对应于f（next（0））或f（1））。（如果两个输入相等，那么会有多个最优解，我们可以遵循其中一个。）

解决方法

我有一个问题与寻找最长的非重叠序列的算法非常相似。

到链接的问题，唯一的区别是，而不是找到组代表非重叠元组的 最长序列 ，我需要找到一组非重叠元组代表的 最大覆盖 ，我指的 总和元组的长度
是最大（一 元组的长度 被last - first + 1给定的定义 元组 中的下一个句子）。

我表示元组的方式与链接问题的方式不同。相反(starting index,length)，我将元组表示为(first,last)；例如，元组(3,7)表示数字集[3,4,5,6,7]。（即使端点匹配，一个元组也会 与 另一个元组 重叠
；即，(2,6)并且(6,8) 重叠 ，因此不能同时出现在解决方案中。）

例如，请考虑以下一组元组，排序方式为first：

[(0,100),(2,50),(30,150),(60,95),(110,190),(120,(191,200)]

此处设置的最大值将[(0,200)]覆盖101 + 81 + 10 = 192。（请注意，此解决方案中的元组 不重叠 。）

解决这个问题的最简单算法的一个例子是什么，该算法的复杂性是什么？（如果可以在中解决，那就太好了O(N)，但目前不知道是否可以解决。）

附录： 回想起来，事实证明，我在这里提出的问题等同于
加权区间调度问题
。这是区间调度问题的特例。

以下@j_random_hacker的答案实际上是加权间隔调度问题的已知解决方案，时间复杂度为O(N log(N))。