定义给定体积的多维对象

问题描述

这个问题是从理论数学的角度来看的。 在空间S = [-1，1] ^ d中，给定体积V，我是否总是可以在S中精确定义此体积的对象？也-我可以用体积V的对象包围S中的任何x吗？ 我会在这两个问题上回答“是”，因为我只需要找到d个正实数的乘积，即行的长度，并且我假设可以围绕S中的任何x构造它，但是我只想确定并得到一些很好的解释。

谢谢

解决方法

基本上是，假设n是ceil（log2（V）），所以V是c 2 ^ n，其中0.5

那么一个可能的解决方案是n维立方体的第c部分，

因此，对于7，您需要7/8的立方体，对于9，您需要9/16的超立方体，依此类推...

这里唯一的假设是，“体积”应解释为n维空间中的n维测度。

,

如果我做对了，您的空间S的坐标在<-1,+1>范围内，从而将其体积限制为：

V = 2^3
HV = 2^d

其中V是标准3D体积，而HV是d维超体积，可以适合您的空间S。因此，您可以构造体积和超体积不超过此限制的对象。

因此，如果要构造体积为V或HV的对象，则可以创建大小为a的轴对齐立方体：

a*a*a = V
a = V^(1/3)

a^d = HV
a = HV^(1/d)

如果a<=2否则您的S太小...