两个数组中元素的乘积的最小和

问题描述

我从事竞争性编程一段时间了，脑海中浮现出一个随机的问题。我在在线网站上找不到解决方案，因此将其发布在这里。

给出两个数组A和B，它们包含整数并且大小相同n。我需要创建一个一对一的映射，并将其从A的元素映射到B的元素。假设配对的元素为{(p1A,p1B),(p2A,p2B),.....,(pnA,pnB)}。我需要找到最小化p1A*p1B + p2A*p2B + .... + pnA*pnB的映射。

我们如何解决这个问题？如果您可以在回答中提供正确性证明，那将非常有帮助。

解决方法

在评论中看起来像@tobias_k的解决方案将起作用。

证明： 不失一般性，对A进行排序（A[i] <= A[i+1]），我们只能置换B。 如果存在i这样的B[i] < B[i+1]，则通过交换这些元素，总和会改变

new_sum - old_sum = A[i]*B[i+1] + A[i+1]*B[i] - A[i]*B[i] - A[i+1]*B[i+1] 
                  = A[i](B[i+1] - B[i]) - A[i+1](B[i+1] - B[i]) 
                  = (A[i] - A[i+1])(B[i+1] - B[i])
                  <= 0

然后，对于B的任何起始排列，我们可以将B冒泡排列成降序排列，而总和不增加。 QED。

因此，该算法仅是将A升序排序，将B降序排序以获得映射。