概率最大化期望

问题描述

给第3个人第i个人可以通过概率p_i通过测试，现在您需要将他们分为n个组，每个组有3个人。如果至少有两个人通过测试，则一组的分数等于1，否则为0。为了最大程度地期望总分，您如何将它们分组？

我已经考虑了一下这个问题，从直觉上来说，将两个大p_i与一个小p_i组合在一起是有意义的。另外，我已经考虑过最佳安排，将不同组中的任何两个p_i交换都会降低期望值。交换两个学生时，我可以用数学方法写出期望值的差异，但似乎并没有给出明显的结果。我撞墙了。

解决方法

有趣的问题。对我来说很难，因为3往往是NP硬度的魔术数字，而且我看不到任何凸结构。

我可以建议以下大社区本地搜索策略。如果我们只是试图将单双配对以形成三人一组，那么最佳策略将是按照单双通过的可能性排序，对单双通过的可能性进行排序，然后进行匹配他们相应地。要进行本地搜索，请形成初始组，然后将每个组随机均匀地重复分成一对和单个，然后如上所述进行最佳匹配。

一些非常粗糙的Python：

import random


def quality(groups):
    return sum(a * b + a * c + b * c - 2 * a * b * c for [a,b,c] in groups)


def main():
    n = 10
    groups = [[random.random() for j in range(3)] for i in range(n)]
    print(groups)
    print(quality(groups))
    for k in range(1000):
        choices = [random.randrange(3) for i in range(n)]
        pairs = [[group[j - 1],group[j - 2]] for (group,j) in zip(groups,choices)]
        pairs.sort(key=lambda pair: pair[0] + pair[1] - 2 * pair[0] * pair[1])
        singles = [group[j] for (group,choices)]
        singles.sort()
        groups = [pair + [single] for (pair,single) in zip(pairs,singles)]
        print(quality(groups))
    print(groups)


main()