为什么SLERP不对测地线进行插值？

问题描述

不确定我应该在Math SE还是此处进行操作，所以请告诉我。

我尝试实现一种SLERP算法，该算法显示给定经过的时间量，单位球体上的点移动到了哪里，但是我发现结果并没有遵循最短的路径，因为我希望SLERP可以帮助我做到这一点。我想我尝试使用四元数的轴表示点的位置时出了点问题？

这是我的代码：

from pyquaternion import Quaternion as pyQ
import math

ts = (np.linspace(0,10,11))/10

def rotate_upon_t(time,start,end):

    for t in time:    
        result = start*(((start)**(-1)) * end)**t
        print(result.axis)

rotate_upon_t(ts,q0,q1)

测试用例：

q0 = pyQ(axis = [0.5*math.sqrt(2),-0.5*math.sqrt(2)],degrees = 180)
q1 = pyQ(axis = [0.5,0.5,degrees = 180)

经过10个时间步的结果（第{行显示时间t = i时的位置）

[ 0.70710678  0.         -0.70710678]
[ 0.69515821  0.05256703 -0.71693219]
[ 0.68112236  0.10497623 -0.72460494]
[ 0.66504138  0.15707022 -0.73010199]
[ 0.64696353  0.20869259 -0.73340684]
[ 0.62694312  0.25968834 -0.73450956]
[ 0.60504025  0.30990436 -0.73340684]
[ 0.58132068  0.35918985 -0.73010199]
[ 0.55585564  0.40739684 -0.72460494]
[ 0.52872159  0.45438058 -0.71693219]
[ 0.5         0.5        -0.70710678]

我希望该点的最后一列（z坐标）为常数(-0.5*math.sqrt(2))，因为该值也是起点和终点（q0.axis和{{1 }}。我的期望有什么错误吗？

解决方法

我相信您想插入两个3D向量，而不是两个四元数。

让我们说您想使用SLERP从V1到V2生成测地线G，其中V1和V2是单位3D矢量。首先，我将V1和V2嵌入为纯四元数Q1，Q2。从Q1旋转到Q2的四元数Q为：

Q =归一化（Q2 + Q1）* Q1

插值Q（t）为

Q（t）= Q ^ t

或等效地：

Q（t）= exp（t * log（Q））

其中t是介于0和1之间的标量。

最后，测地线G（t）为：

G（t）= Q（t）* Q1 *共轭（Q（t））

注意：乘积*是四元数乘积。

,

编辑：我忘记了飞机的飞行路径可能不是沿着相同的高度，即使两端都没有。证明沿着“弯曲”路径（例如，从东京到纽约）驾驶飞机比“直线”飞行更省油，但是意识到这一事实足以让我知道这个问题足够愚蠢。 / p>