问题描述
针对该问题:
以M×N网格考虑昆虫。昆虫开始于左下角(0,0),并希望结束于右上角(M-1,N-1)。昆虫只能向右或向上移动。编写一个函数路径,该路径采用网格的长度和宽度,并返回昆虫从头到目标可以采用的不同路径数。
例如,“ 2 x 2”网格共有两种方式使昆虫从起点移动到目标。对于3 x 3的网格,昆虫有6条不同的路径(上面仅显示3条)。
以下是递归解决方案:
package main
import "fmt"
func paths(m,n int) int {
var traverse func(int,int) int
traverse = func(x,y int) int {
if x >= m || y >= n {
return 0
}
if x == m-1 && y == n-1 {
return 1
}
return traverse(x+1,y) + traverse(x,y+1)
}
return traverse(0,0)
}
func main() {
fmt.Println(paths(1,157))
}
fmt.Println(paths(1,1)) // 1
fmt.Println(paths(2,2)) // 2
fmt.Println(paths(3,3)) // 6
fmt.Println(paths(4,4)) // 20
fmt.Println(paths(5,5)) // 70
fmt.Println(paths(6,6)) // 252
fmt.Println(paths(7,7)) // 924
记忆化可以应用于斐波那契问题,使用树递归来重用以前的计算
记住这个路径问题有意义吗?重用以前的计算
(注意:此问题旨在应用树递归的概念,如here所述。)
解决方法
该问题是众所周知的,并且具有(M + N-2选择M-1)或等效的解决方案(M + N-2选择N-1)。使用需要O(NM)时间的记忆是否有意义?并非如此,因为可以用相对简单的代码在O(min(M,N))时间(算术运算)中计算二项式系数。
例如(playground link):
package main
import (
"fmt"
"math/big"
)
func paths(n,m int) *big.Int {
return big.NewInt(0).Binomial(int64(n+m-2),int64(m-1))
}
func main() {
for i := 1; i < 10; i++ {
fmt.Println(i,paths(i,i))
}
}
,
是的,可以使用备忘录。要进行的关键观察是在3x3网格中考虑一个网格(1,1):
(2,0)(2,1)(2,2)
(1,0)(1、1)(1、2)
(0,0)(0,1)(0,2)
网格(1,1)中的路径数等于(1,0)的路径数加上(0,1)的路径数,因为只有两种可能的方式可以到达路径(1,1)。
概括:
npath(x,y)= npath(x-1,y)+ npath(x,y-1)
其中npath(x,y)=访问网格(x,y)的可能路径的数量
因此,如果您向后构建递归,则可以应用备注。倒退是指您必须从较小的情况开始,其中npath(_,0)= 1且npath(0,_)=1。下划线表示任何值。
简单运行此算法会在3x3的网格中产生以下数量的路径:
1 3 6
1 2 3
1 1 1
实际上,您可以执行双嵌套循环,而不必进行递归优化。