问题描述
众所周知，任何正数最多可以通过3个三角数表示。 （ https://oeis.org/A000217）
示例：
11 := 10 + 1
12 := 10 + 1 + 1
13 := 10 + 3
14 := 10 + 3 + 1
15 := 15
我正在通过最多3个可能的三角加法搜索正数n的表示形式。 n可以存在多个表示。我对需求量最大的那个感兴趣。
有没有比2个递减和1个递增的for for循环更有效的方法？
public void printMaxTriangularNumbers(int n){
int[] tri = createTriangularNumbers(1000);
lbl: for(int i = tri.length-1; ; i--){
int tmp = n - tri[i];
if(tmp == 0){
System.out.println(tri[i]);
break;
}
for(int j=i; j>0; j--){
int tmp2 = tmp - tri[j];
if(tmp2 ==0){
System.out.println(tri[i]);
System.out.println(tri[j]);
break lbl;
}
for(int k=1; k <= j;k++){
if(tmp2 - tri[k] == 0){
System.out.println(tri[i]);
System.out.println(tri[j]);
System.out.println(tri[k]);
break lbl;
}
}
}
}
}
public int[] createTriangularNumbers(int n){
int[] out = new int[n+1];
for(int i=1,sum=0; i<=n;i++){
out[i] = sum += i;
}
return out;
}
解决方法
据我所知，没有直接公式。需要一种算法。例如，贪婪的方法不起作用。以值90为例：
- 不大于90的最大三角数是78。仍然是12
- 不大于12的最大三角数是10。仍然是2
- 现在很明显，我们将需要4个不可接受的术语。
因此，我将提出一种递归/回溯算法，其中每个递归调用仅处理一个求和。递归中的每个级别都首先采用可能的最高三角数，但是如果递归调用失败，它将达到第二个最大值并再次跳入递归，直到有一个可接受的和。
我们可以使用maths.stackexchange.com中提到的公式：
让 T m 为小于或等于 c 的最大三角数。 实际上，您可以为 m 获得一个明确的公式，即：
这里是实现递归的代码段。运行它时，您可以引入一个值，然后将为其生成三角加法。
function getTriangularTerms(n,maxTerms) {
if (maxTerms === 0 && n > 0) return null; // failure: too many terms
if (n == 0) return []; // Ok! Return empty array to which terms can be prepended
// Allow several attempts,each time with a
// lesser triangular summand:
for (let k = Math.floor((Math.sqrt(1+8*n) - 1) / 2); k >= 1; k--) {
let term = k * (k+1)/2;
// Use recursion
let result = getTriangularTerms(n - term,maxTerms - 1);
// If result is not null,we have a match
if (result) return [term,...result]; // prepend term
}
}
// I/O handling
let input = document.querySelector("input");
let output = document.querySelector("span");
(input.oninput = function () { // event handler for any change in the input
let n = input.value;
let terms = getTriangularTerms(n,3); // allow 3 terms max.
output.textContent = terms.join("+");
})(); // execute also at page load.Enter number: <input type="number" value="14"><br>
Terms: <span></span>,
由于三角数是满足t的任何数字t=x(x+1)/2的任何自然数x，所以您要解决的问题
n = a(a+1)/2 + b(b+1)/2 + c(c+1)/2
并找到最大可能的(a,b,c)解决方案max(a,c)。您未指定只允许使用3个三角数的解，所以我假设您也允许使用(a,c,d)形式的解，并寻找具有最大max(a,d)的解。
可能有多种解决方案，但始终存在一个最多包含3个三角数的解决方案。由于可以用3个三角数组成任意数字，因此可以找到最大的三角数t和t<=n，然后它跟随n=t+d，其中d=n-t。 d是> = 0的自然数，因此可以由3个三角形组成。由于您对最大的被乘数感兴趣，因此最大的将是t，可以用t=x(x+1)/2来计算，其中x=floor((sqrt(1+8n)-1)/2)（通过求解公式n=x(x+1)/2+d获得）。 / p>
作为一个实际示例，请使用n=218。通过公式，我们得到x=20和t=210，它们的确是218之前的最大三角数。在这种情况下，其他三角数将是6，1 ，1，因为计算8的唯一方法就是使用它们。