确定点是否在旋转的矩形内仅限标准Python 2.7库

问题描述

我有一个旋转的矩形，其中的坐标为顶点：

   1   670273   4879507
   2   677241   4859302
   3   670388   4856938
   4   663420   4877144

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我有这些坐标的点：

670831  4867989
675097  4869543

仅使用Python 2.7标准库，我想确定这些点是否落在旋转的矩形内。

• 我无法在Jython实现中添加其他Python库

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这将需要什么？

解决方法

取三个随后的顶点A,B,C（您的1,2,3）

找到边AB和BC的长度

lAB = sqrt((B.x - A.x)^2+(B.y - A.y)^2)

获取单位（归一化）方向矢量

uAB = ((B.x - A.x) / lAB,(B.y - A.y) / lAB) 

对于测试点P，获得向量BP

BP = ((P.x - B.x),(P.y - B.y)) 

并使用叉积计算两侧到点的有符号距离

SignedDistABP = Cross(BP,uAB) = BP.x * uAB.y - BP.y * uAB.x
SignedDistBCP = - Cross(BP,uBC) = - BP.x * uBC.y + BP.y * uBC.x

对于矩形内的点，两个距离应具有相同的符号-取决于顶点顺序（CW或CCW）为负值或正值，并且它们的绝对值分别不应大于lBC和lAB

Abs(SignedDistABP) <= lBC
Abs(SignedDistBCP) <= lAB

,

可以从2个点构造ax+by+c==0形式的线方程。为了使给定点在凸形内，我们需要测试它是否位于该形状的边缘所定义的每条线的同一侧。

在纯Python代码中，注意编写避免除法的等式，如下所示：

def is_on_right_side(x,y,xy0,xy1):
    x0,y0 = xy0
    x1,y1 = xy1
    a = float(y1 - y0)
    b = float(x0 - x1)
    c = - a*x0 - b*y0
    return a*x + b*y + c >= 0

def test_point(x,vertices):
    num_vert = len(vertices)
    is_right = [is_on_right_side(x,vertices[i],vertices[(i + 1) % num_vert]) for i in range(num_vert)]
    all_left = not any(is_right)
    all_right = all(is_right)
    return all_left or all_right

vertices = [(670273,4879507),(677241,4859302),(670388,4856938),(663420,4877144)]

下图以可视方式测试了几种形状的代码。请注意，对于具有水平和垂直线的形状，通常的线方程可能会导致被零除。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

vertices1 = [(670273,4877144)]
vertices2 = [(680000,4872000),(680000,4879000),(690000,4872000)]
vertices3 = [(655000,4857000),(655000,4875000),(665000,4857000)]
k = np.arange(6)
r = 8000
vertices4 = np.vstack([690000 + r * np.cos(k * 2 * np.pi / 6),4863000 + r * np.sin(k * 2 * np.pi / 6)]).T
all_shapes = [vertices1,vertices2,vertices3,vertices4]

for vertices in all_shapes:
    plt.plot([x for x,y in vertices] + [vertices[0][0]],[y for x,y in vertices] + [vertices[0][1]],'g-',lw=3)
for x,y in zip(np.random.randint(650000,700000,1000),np.random.randint(4855000,4880000,1000)):
    color = 'turquoise'
    for vertices in all_shapes:
        if test_point(x,vertices):
            color = 'tomato'
    plt.plot(x,'.',color=color)
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.show()

PS：如果您正在运行numpy的32位版本，并且使用此整数大小，则可能有必要将值转换为float以避免溢出。

如果此计算需要经常进行，则可以a,b,c值进行预先计算和存储。如果知道边缘的方向，则仅需要all_left或all_right中的一个。

形状固定后，可以生成函数的文本版本：

def generate_test_function(vertices,is_clockwise=True,function_name='test_function'):
    ext_vert = list(vertices) + [vertices[0]]
    unequality_sign = '>=' if is_clockwise else '<='
    print(f'def {function_name}(x,y):')
    parts = []
    for (x0,y0),(x1,y1) in zip(ext_vert[:-1],ext_vert[1:]):
        a = float(y1 - y0)
        b = float(x0 - x1)
        c = a * x0 + b * y0
        parts.append(f'({a}*x + {b}*y {unequality_sign} {c})')
    print('    return',' and '.join(parts))

vertices = [(670273,4877144)]
generate_test_function(vertices)

这将生成如下功能：

def test_function(x,y):
    return (-20205.0*x + -6968.0*y >= -47543270741.0) and (-2364.0*x + 6853.0*y >= 31699798882.0) and (20206.0*x + 6968.0*y >= 47389003912.0) and (2363.0*x + -6853.0*y >= -31855406372.0)

然后可以通过Jython编译器复制粘贴并优化此函数。请注意，形状不必为矩形。任何凸形都可以，允许使用更紧密的盒子。

,

由于形状是精确的矩形，所以最简单的方法是将所有点旋转角度

-arctan((4859302-4856938)/(677241-670388))

这样做，矩形将变为轴对齐，您只需要执行四个坐标比较即可。旋转很容易用复数计算。

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实际上，您可以简单地将所有点表示为复数，计算出一侧定义的向量，然后将所有数乘以共轭数。

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一种略有不同的方法是考虑坐标系的变化，该变化会给原点带来一些角，而两个入射面分别变为（1,0）和（0,1）。这是仿射变换。然后您的测试归结为检查单元格的内部情况。