编程中是否有任何通用函子不限于endofunctor使用？ 右身份左身份关联性

编程问答 2022-08-15

问题描述

编程中是否使用了通用函子（不限于endofunctor）？

我了解使用endofunctor的原因是使结构简单，如monoid或monad。

我也最终理解，所有的值都归结为一种编程语言（例如Hask）的类别，但是我在这里谈论的是相同类别的字符串，数字，布尔值或函数之间的endofunctor

相关问题：

Are all Haskell functors endofunctors?

Differences between functors and endofunctors

解决方法

首先，是。

例如，我们都知道可以通过以下方式将一个monoid定义为一个单对象类别：

  • 箭头成为元素
  • 单个对象没有意义
  • 要成为运算符的构成（在Haskell中为(<>)）
  • id箭头为身份（在Haskell中为mempty）。

从这个意义上说，两个类半同形词之间的同构成为两个类别之间的函子。

现在，假设类型A和B都是类半体符号；它们之间的函子只是同态函数f :: A -> B，该同构函数将每个A映射到B，从而保留了组成。

但是，等等，f :: A -> B甚至不是Functor（请注意，我在这里使用等宽字体）！

不，它不是Haskell中的Functor，但从数学意义上讲，它仍然是函子。

因此，要强调一下，我再说一遍：在编程中使用了“非内在”仿函数，并且可能比内在仿函数更频繁地使用。

这里的要点是类别理论是一种高度抽象的理论-它提供了抽象具体对象的概念。我们可以将这些概念定义为在不同上下文中表示不同的事物。

设置（或设置或设置的子类别）只是这些无限定义之一，使得

  • 箭头成为功能
  • 要成为类型（或集合）的对象
  • 组成为功能组成(.)
  • id箭头用作id函数。

将此“分类宇宙”定义与上面的“分类monoid”定义进行比较-恭喜，您已经知道类别有两种不同的用法！

最后，请记住类别理论本身仅仅是一些抽象。抽象本身毫无意义，也没有任何用处。我们将它们与真实事物联系在一起，只有这样，它们才能为我们带来便利。通过具体的示例理解抽象概念，但切勿将这些概念本身简化为任何具体的事物（例如，切勿将函子简化为仅属于“分类宇宙”之间的函子（例如 Has ， Set 等）！）。

P.S。如果您问“是否有函子将 Hask 发送到Haskell的另一个类别？”那么答案可能是是或否。例如，您可以定义类别 Hask * Hask ，以包含任意两种类型的笛卡尔积，以及发送的函子data Diag a = Diag a a，fmap f x = Diag (f x) (f x)每个类型A到其正方形A * A。但是， Hask * Hask 仍然是 Hask 的子类别，因此我们可以说这也是一个终结者。

,

简短答案：是，Haskell中的类别“较小”，您可以在它们之间定义函子（而不仅仅是endofuncunctors）。它们是否有用是另一个问题。

这是我多年来一直想知道的事情。当前的问题促使我对此采取了行动。我目前第三次浏览Bartosz Milewski的Category Theory for Programmers。我不确定我是否正确，因此，希望您能提供反馈。

帽子

如果我理解正确， Hask 本质上是类型的类别（〜 sets 的类别），底部是 em>（⊥）表示非终止计算。下面是说明它的尝试：

The category of Hask illustrated as a set of types,plus bottom

Hask 中的每个对象是类型，例如Int，Bool，String或您自己的自定义类型，例如Reservation，Order等。类型可以视为 set ；例如Bool是包含True和False的集合，String是所有字符串的集合，依此类推。显然，其中许多集合（例如String）都是无限。

此外，还有一个特殊的底部对象。

您可以将类型映射到其他类型，但是不能映射到 Hask 之外的其他内容，因为 Hask 包含所有类型和表达式：

Mapping from Hask to Hask

在这里，我通过复制 Hask 说明了从 Hask 到 Hask 的映射，但实际上，这两个类别只是两张相同的图像。

函子是不仅映射对象，而且还映射对象之间的态射的映射。关于这一点已经有很多话了，所以我在这里要说的唯一一点是，由于 Has 和 Hask 之间的仿函数不会离开类别，因此它们是仿函数内部 Hask ，因此是终结者。这就是Haskell中的Functor类型类。

单位类别

那么，问题是： Hask 中是否存在“较小”类别？

据我所知：是的，无限多个。

存在的最简单的类别之一是具有单个对象的类别，除了身份态射影外没有其他射态：

Unit category

在Haskell中，这可能是 unit （()）类型的图片。 ()是 Hask 的一部分，但您也可以将其本身视为一个类别。我们称之为 Unit 。

免费类别

上面的 Unit 类别只是free category的示例。自由类别是从有向图构造的类别。这是另一张图：

Graph with two vertices and two edges

这个有两个顶点和两个边。我们可以通过将顶点解释为对象，将边缘解释为射态来从该图构造一个类别。我们还必须为每个对象添加同一性词素以及词素的组成。

在编程中，具有两个对象的集合等效于只有两个居民的类型。您可以为这些值指定不同的名称，但是这种类型对于Bool总是同构的。

Functor

我们可以定义以上两个类别之间的映射吗？

是的，我们可以通过将 Unit 嵌入“较大”类别中来实现。我们可以通过任意选择一个对象来做到这一点：

Functor between Unit and the free category example

存在另一个拾取其他对象的函子。

这显然是类别之间的映射 ，因此不是endofunctor。不过，它是合适的函子吗？

要成为函子，映射不仅必须将对象映射到对象，而且还必须将射态射向射态。这里也是这种情况，因为 Unit 仅具有身份同构。因此，我们还将身份同构映射到我们选择的目标对象上的身份同构。 单位中唯一可能的组合是id ∘ id，id ∘ id ∘ id，依此类推。这些都映射到目标对象上的id ∘ id，id ∘ id ∘ id等。

我只涉猎类别理论几年了，但是我认为这是一个合适的函子。

Haskell类别类型类

Haskell定义了一个名为Category的类型类。它不太适合上面的 Unit 类别或上面的自由类别示例，因为它假定Category是一种类型较高的类型（即，它涉及 types ）。不过，让我们看看是否可以将 Unit 和上面的免费类别添加到Category中，并用其制成函子。

单位为Category

Category的实例必须是类型较高的类型（即cat a b），因此我们不能仅仅将()变成Category实例。但是，我们可以为其定义更高种类的同构：

data U a b = U deriving (Eq,Show)

类似于Const仿函数，此类型定义了类型变量，然后将其忽略。就像()一样，U类型只有一个值，也称为U。 （锻炼：证明U和()是同构的。）

我们可以将U设为Category实例：

instance Category U where
  id = U
  U . U = U

这是一个适当的类别吗？它遵守法律吗？

我们可以使用方程式推理来证明它可以做到：

右身份

  U . id
= { definition of (.) }
  U

左身份

  id . U
= { definition of (.) }
  U

关联性

  U . (U . U)
= { definition of (.) }
  U . U
= { redundant brackets }
  (U . U)
= { definition of (.) }
  (U . U) . U

这对我来说很好。

免费类别示例为Category

上面的免费类别示例怎么样？像上面的U类型一样，这个很小的类别不能是参数多态的，但是我们可以再次定义一个幻像类型：

data Bendo a b = Bendo { runB :: Bool -> Bool }

other :: Bendo a b
other = Bendo not

我将布尔型同态称为Bendo，因为事实就是如此。两个对象（True和False）之间的边对应于拾取 other 对象，这等效于内置的not函数。 / p>

要对所讨论的类别进行建模，只允许使用other和id的词素，因此应禁止使用其他功能Bool -> Bool（例如\_ -> True）。因此，定义Bendo的模块不应导出数据构造函数。

我们可以将Bendo设为Category实例吗？ 

instance Category Bendo where
  id = Bendo id
  (Bendo f) . (Bendo g) = Bendo (f . g)

实际上，这是可能的。我不会证明这是一个类别，因为它实际上只是专用于->的{​​{1}}类别实例。

Functor

现在让我们在(->) Bool Bool和U之间定义一个函子。为此，我们可以使用Control.Categorical.Functor中给出的Bendo的更一般定义。为了使所有这些工作正常进行，我不得不隐藏Functor中给出的常用定义：

Prelude

我们还需要支持import Control.Category import Control.Categorical.Functor import Prelude hiding (id,(.),Functor(..)) ：

MultiParamTypeClasses

为了实现更通用的{-#LANGUAGE MultiParamTypeClasses #-} 类型类，我们需要一种类型更高的类型。再次，让我们为此目的生成另一个幻像类型：

Functor

这足以定义实例：

data Embed a = Embed deriving (Eq,Show)

这将instance Functor Embed U Bendo where fmap U = Bendo id 映射到U中的身份运动。

使用起来有点尴尬，但是有可能：

Bendo

Haskell无法确定> (runB $ (fmap U :: Bendo (Embed a) (Embed b))) False False > (runB $ (fmap U :: Bendo (Embed a) (Embed b))) True True 的类型，因此您必须告诉它。告诉您结果应为fmap U类型后，Bendo (Embed a) (Embed b)会将fmap映射到恒等态，然后可以通过将U应用于任一{{1 }}或runB。

结论

编程中是否存在函子（不仅是endofuncunctors）？是的，他们有。

它们有用吗？在我看来，如果您斜视一下，这些函子只是“正常”功能的一部分。上面的函子的简化版本是：

True

这只是正常功能。

我必须更多地考虑这样查看时是否还有更有用的应用程序。

category-theoryfunctorhaskellhaskelljavascript