为什么合并排序空间复杂度On？

问题描述

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乍看之下，合并排序具有O（n）的空间复杂性是有道理的，因为要对我正在拆分并创建子数组的未排序数组进行排序，但是所有子数组的大小之和为n。

问题：我主要关心的是递归过程中mergeSort（）函数的内存分配。我有一个主堆栈，每个对mergeSort（）的函数调用（以回响方式）将被压入堆栈。现在，每个可追溯调用的mergeSort（）函数将具有其自己的堆栈。因此，假设如果我们对mergeSort（）进行了5次响应调用，则主堆栈将包含5个函数调用，其中每个函数调用将具有其自己的函数堆栈。现在，每个函数堆栈将具有其自己的局部变量，例如该函数创建的左子数组和右子数组。因此，这5个函数堆栈中的每一个都应在内存中具有5个不同的子数组。那么，空间不应该随着回拨电话的增长而增长吗？

解决方法

内存应该是线性的

尽管对mergeSort的每个调用都会触发两个递归调用，所以讨论并绘制递归调用的二叉树是有意义的，但是一次仅执行这两个递归调用中的一个。第一个电话在第二个电话开始之前结束。因此，在任何给定时间，仅探索树的一个分支。 “调用堆栈”代表该分支。

递归树的深度最多为log（n），因此调用堆栈的高度最多为log（n）。

探索一个分支需要多少内存？换句话说，在任何给定时间最多在调用堆栈上分配多少内存？

在调用堆栈的底部，有一个大小为n的数组。

最重要的是大小为n / 2的数组。

最重要的是大小为n / 4的数组。

等等...

因此，调用堆栈的总大小最多为n + n / 2 + n / 4 + ...

因此，调用堆栈的总大小最多为2n。

可能的内存泄漏

如果您的merge sort实现在每个递归调用中分配了一个新数组，而您忘记在调用结束时释放这些数组，那么分配的总内存将成为整棵树所需的总内存，而不仅仅是一个分支。

考虑树中给定深度的所有节点。这些节点的子数组加起来形成整个数组。例如，树的根具有长度为n的数组；然后在其下一级，有两个子数组代表原始数组的两半；然后在其下一级，有四个子数组代表原始数组的四分之四；因此，树的每个级别都需要内存n。树有log（n）个级别。因此，为整个树分配的内存总量为n log（n）。

结论

如果合并排序没有内存泄漏，则其空间复杂度为线性 O（n）。此外，有可能（尽管并不总是很希望）就地实现合并排序，在这种情况下，空间复杂度是恒定的 O（1）（所有操作都直接在输入数组内执行）

但是，如果合并排序的实现存在内存泄漏，即您继续在递归调用中分配新数组，但在递归调用返回时不释放它们，那么它很容易具有空间复杂度 O（ n登录n）。