准确的sqrt1 +x / 2^ 2+ x / 2

问题描述

对于正数sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2，我需要数字计算x。对于非常大的x值，直接使用此表达式将失败。如何重写它以获得更准确的评估？

解决方法

对于非常大的x，您可以排除x/2：

sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( 1/(x/2)^2 + (x/2)^2/(x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( (2/x)^2 + 1 ) + x/2

对于x > 2/sqrt(eps)，平方根实际上将求值为1，并且您的整个表达式将简化为x。 假设您需要覆盖整个范围[0,infinity]，在这种情况下，我建议仅分支并返回x和您的原始公式，否则：

if x > 2/sqrt(eps)  // eps is the machine epsilon of your float type
    return x
else
    return sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2

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许多编程语言都提供函数hypot(x,y)来计算sqrt (x*x + y*y)，同时避免中间计算中的上溢和下溢。 hypot的许多实现也比朴素的表达式更准确地计算结果。这些优点是以适度增加运行时间为代价的。

使用此功能，给定表达式可以写为hypot (1.0,0.5*x) + 0.5*x。如果您选择的编程语言不支持hypot或同等功能，则您可以调整我在this answer中提供的实现。

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注意已经指出，Herbie生成的表达式可能不适用于所有情况。尤其是，用于“改善” Herbie表达式的度量标准可能会生成在您的特定情况下表现较差的表达式。因此，将其输出与谷物盐一起使用。我认为您仍然可以向Herbie咨询以获取想法，但请不要将其用作替代产品。

Herbie（https://herbie.uwplse.org/）建议对您的表情进行以下替换：

或者，在C中：

double code(double x) {
    return ((double) (((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0),2.0)))))) + (x / 2.0)));
}

成为：

double code(double x) {
    double VAR;
    if (((x / 2.0) <= -8569.643649604539)) {
        VAR = (1.0 / ((double) ((1.0 / ((double) pow(x,3.0))) - ((double) (x + (1.0 / x))))));
    } else {
        double VAR_1;
        if (((x / 2.0) <= 7.229769585372425e-11)) {
            VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0),2.0))))))));
        } else {
            VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) (((double) ((1.0 / x) + ((double) (x * 0.5)))) - (1.0 / ((double) pow(x,3.0)))))));
        }
        VAR = VAR_1;
    }
    return VAR;
}

它将生成详细的报告，说明为何将其分为三个区域。 Herbie的输出可能很难看懂，据报道它可能不会更好，但也许可以提供另一种观点。

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hypot()

hypot函数可计算x和y的平方和的平方根，而不会产生过多的上溢或下溢。可能会发生范围错误。

然后使用hypot(1,x/2) + x/2，代码可能会得到更好的结果；