正确生成凸包并获得平面方程

问题描述

我对计算几何完全陌生。我想生成一组点的凸包，然后获取生成的凸多面体的平面方程，以便检查点的包含/排除。我遵循了文档，并尝试了整个过程大约十二次，但始终存在一些问题。也许我在这里缺少一些细微之处。整个过程如下。我有以下在Mathematica中生成的图。

我想将凸包中绘图上的每个点都包括在内。因此，我将位于两个平面和原点上所有角的所有点都取了（也许是问题所在。也许有一种方法可以正确选择点，以便覆盖图中的所有点）。该特定图的点如下。请注意，这些点是使用无限精度生成的，因此它们是精确值。

pts = {
  {-24298771/25000000000,-223461425901/50000000000,0},{11285077/10000000000,{-24298771/25000000000,-11285077/10000000000,120551411529/25000000000,-24298771/25000000000},11285077/10000000000},24298771/25000000000,{0,0}
};

然后，我使用以下CGAL程序生成凸包和平面方程。同样，尝试使事物保持无限的精度。

#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/GMP/Gmpq_type.h>
#include <CGAL/Polyhedron_3.h>
#include <CGAL/convex_hull_3.h>
#include <CGAL/Side_of_triangle_mesh.h>
#include <CGAL/number_utils.h>
#include <unistd.h>
#include <iomanip>

typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Kernel;
typedef CGAL::Polyhedron_3<Kernel> Polyhedron_3;
typedef Kernel::Point_3 Point_3;
typedef Kernel::Plane_3 Plane_3;
typedef Kernel::Vector_3 Vector_3;
typedef CGAL::Side_of_triangle_mesh<Polyhedron_3,Kernel> Point_inside;

struct Plane_equation {
    template <class Facet>
    typename Facet::Plane_3 operator()( Facet& f) {
    typename Facet::Halfedge_handle h = f.halfedge();
    typedef typename Facet::Plane_3  Plane;
    return Plane( h->vertex()->point(),h->next()->vertex()->point(),h->next()->next()->vertex()->point());
    }
};

Point_3 create_point(std::vector<std::string> points) {
  auto x = points[0],y = points[1],z = points[2];
  Point_3 p;
  std::istringstream input(x + " " + y + " " + z);
  input >> p;
  return p;
}

std::vector<std::string> create_coords_from_line(std::string line) {
  std::vector<std::string> points;
  std::istringstream stream(line);
  std::string pt;
  getline(stream,pt,' ');
  points.push_back(pt);
  getline(stream,pt);
  points.push_back(pt);
  return points;
}

int main() {
    std::vector<Point_3> points;
    std::string line;

    for (auto i = 0; i < 9; ++i) {
      getline(std::cin,line);
      points.push_back(create_point(create_coords_from_line(line)));
    }

    Polyhedron_3 poly;
    CGAL::convex_hull_3(points.begin(),points.end(),poly);
    // CGAL::draw(poly);
    std::transform(poly.facets_begin(),poly.facets_end(),poly.planes_begin(),Plane_equation());
    CGAL::set_pretty_mode(std::cout);

    for (auto it = poly.planes_begin(); it != poly.planes_end(); ++it) {
      if (isatty(fileno(stdin))) {
        std::cout << "A = " << it->a().exact() << "\n";
        std::cout << "B = " << it->b().exact() << "\n";
        std::cout << "C = " << it->c().exact() << "\n";
        std::cout << "D = " << it->d().exact() << "\n";
        std::cout << "\n";
      } else {
        std::cout << it->a().exact() << " " << it->b().exact() << " "
                  << it->c().exact() << " " << it->d().exact() << "\n";
      }
    }

    return EXIT_SUCCESS;
}

现在，为了确保所生成的方程式正确并涵盖所有要点，我创建了一个Z3py脚本。其中，f是用于生成图的函数，g是具有适当不等式（）的所有平面方程的合集。然后，我检查是否为f ---> g。我将实数理论用于无限精度。但是它总是带有反例。这些反例总是在平面的某个边缘上。这是几张图片，其中红色圆圈表示反例的位置。这与上面的图不同，但是过程相同。只是f的输入值是不同的。