如何在SML中仅使用加法函数和迭代函数来制作乘法函数

问题描述

在SML中，我有两个功能，add和iterate。

fun add(x,y) = x + y

fun iterate n f x = if n > 0 then iterate (n-1) f(f x) else x;

仅使用这两个函数，如何编写一个multiply函数，例如如果键入：

multiply 5 6

返回30。

然后在此基础上，我需要一个名为power的函数，该函数仅使用iterate和multiply将第一个参数提高为第二个参数的幂。一个例子：

power 5 4

它应该返回625。

任何帮助将不胜感激！

解决方法

因此，诀窍是使用iterate来帮助您递归应用add。由于iterate是一个将函数作为参数的列表组合器，因此，如果您以非常简单的方式进行操作，可能会更简单：例如，您可以通过递归地递增或递减来定义add一个：

(* Written using if-then-else *)
fun add x y =
    if y = 0 then x else
    if y > 0 then add (x+1) (y-1) else add (x-1) (y+1)

(* Written using mixture of pattern-matching and if-then-else *)
fun add x 0 = x
  | add x y = if y > 0
              then add (x+1) (y-1)
              else add (x-1) (y+1)

现在，由于我们已经有了+，所以这当然是非常低效的，而且完全没有必要，但是为了演示数字的递归，这是如何使用multiply和{{ 1}}（仍然假设我们还没有power）。

此处的一般方法是递归：由于该函数采用两个操作数，因此将一个用作“累加结果”，将另一个用作“计数变量”。因为这是一个简单的问题，所以您仅可以将iterate和x用作函数任务的完整环境。在稍大的问题中，您可能会引入更多作为临时/中间结果的参数。

您可以用非常相似的方式写y：

multiply

此功能解决了任务（尽管仍然没有fun multiply x 0 = 0 | multiply x y = if y > 0 then x + multiply x (y-1) else ~x + multiply x (y+1) ）。

（此iterate不是尾部递归的，因为最外面的表达式（multiply或x + ...）不是对~x + ...的调用（因为调用发生在multiply的操作数之内，这对您来说可能不是问题，但如果是这样，您就很难编写+，因为当我们使用... then multiply (x + ...) (y - 1)时在累加结果方面，任何后续递归调用都增加了x，这意味着我们不能再将x添加到...本身...，因为x现在意味着两件事：累加结果，并且每个递归调用都需要添加一次。）

无论如何，要走到最后一步，您必须确定x与我所做的iterate和add的共同点。当您可以找到公分母时，可以将其隔离，然后调用multiply。我想修复一个空格“ bug”，它可能会使您对iterate的解释感到困惑：

iterate

添加此空间不会改变函数的行为，但是在阅读fun iterate n f x = if n > 0 then iterate (n-1) f (f x) else x; (* ^- this space! *) 时，人们倾向于认为它说“将f(f x)应用于f”，这是错误的解释。此功能实际上在f x下表示的是“用三个参数调用then：iterate，n-1和f；因为f x的绑定不太紧密而不是函数应用程序，而n-1是函数应用程序（它是左关联的），我们在它们周围加上括号；对于f x而言，这不是必需的。”

在f和add中，multiply被用作计数变量，而在y中，它是iterate。因此名称和位置已更改，这意味着基于n的{​​{1}}必须将multiply和iterate放置在正确的位置。至于确定x的值：将y添加到其结果中的函数呢？您可以使用lambda f或部分使用功能x来表达此功能。

最后，对于(fn z => ...)，这是几乎相同的问题：

add

由于没有很好的整数解决方案，您必须切换为 real 类型来表示 1 / x ^ n ，也可以翻转条件并在开始递归之前将power的情况从图片中删除：

fun power x 0 = 1
  | power x n = if n > 0
                then x * power x (n-1)
                else raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer"

内部函数n < 0看起来非常像上面的fun power x n = if n < 0 then raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer" else let fun go result 0 = result | go result i = go (result * x) (i-1) in go 1 n end ，除了go变成了add和x变成了result，并且1已成为add，并且没有否定情况（+）。

因此，这意味着您可以实际使用*代替if y > 0 ... else ...，只要您为iterate找到良好的价值：

• go应该是什么？ （有点倒计时）。
• iterate n f x应该是什么？ （执行逐步计算的内容。）
• n应该是什么？ （在逐步计算中应用的内容。）

（...全部用f表示；在x函数及其作用域内的参数的上下文中，它们可能被称为其他名称。）