如何使用Big O，Omega和Theta进行证明或反证？

问题描述

1. 4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)
2. 3n^2 + 7n - 5 = Theta(n^2)
3. 33n^3 + 4n^2 = omega(n^4)
4. 〖(n+a)〗^b=Θ(n^b) where a and b are constants

我在解决这类问题时遇到问题。请帮忙。

解决方法

本练习的目的是检查您是否了解和理解O（），Omega（）和Theta（）的定义。因此，重要的是要记住这些定义。我建议首先仔细编写这些定义。

以第一个示例4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)为例。为O(n^2)意味着您可以找到一个常量k，这样，如果n足够大，则4n^2 + 7n + 10将小于（或等于）k n^2。 / p>

“如果n足够大，则为真”表示您可以找到一个常数N，使得如果n大于N，则为真。

要证明（1），您要做的就是展示特定的k和N。例如，如果您可以说“对于所有n> 100，则为4n ^ 2 + 7n + 10

要反对（1），您需要证明不存在这样的一对k和N。换句话说，您需要证明对手可能会为您选择的任何k和N，您都可以展示比n大的N。>

现在，想象一下我给你一个简单的问题：

0. 4n^2 = O(n^2)

这将非常容易。您可以选择k=4,N=0并说“显然，对于所有n> = 0，都是4n ^ 2

但是现在您有：

1. 4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)

因此，如果要证明这一点，则必须找到k1和{{1} }和N1，以便7n < k1 n^2尽快n > N1。然后，您可以总结所有内容并说：“由此得出，k2一旦大于N2和10 < k2 n^2，即{{ 1}}大于n > N2。因此，您找到了4n^2 + 7n + 10 < 4n^2 + k1 n^2 + k2 n^2 = (4 + k1 + k2) n^2和n以及N1。

接下来的两个示例相似，但是需要定义N2和n。

第四个示例要难一些，所以我建议您在尝试4之前先确保您了解1、2和3。