Haskell Wiki中的“类别法”

问题描述

根据Haskell Wiki，

https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory#Category_laws

类别法 类别需要遵循三个定律。首先，最简单的是，态素的组成必须具有关联性。

但是，

关系的构成具有关联性。

https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_of_relations#Properties

功能组成始终是关联的。

https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition#Properties

那么，在什么情况下，Haskell社区（或Wiki假设的社区）认为，态射的构成并没有违反规则？

谢谢。

解决方法

这里的数据类型/操作组合不是有效的Category实例。

数据类型仅包含一个带有一些Int值的函数：

import Prelude
import qualified Control.Category as C

data Subs a b = Subs Int (a -> b)

这是伪造的Category实例。合成执行注释的减法：

instance C.Category Subs where
    id = Subs 0 Prelude.id
    (Subs x f) . (Subs y g) = Subs (y - x) (f . g)

但是，由于subtraction is not associative，该实例无效！

main :: IO ()
main = do
    let Subs u _ = (Subs 3 id) C.. ((Subs 10 id) C.. (Subs 2 id))
        Subs v _ = ((Subs 3 id) C.. (Subs 10 id)) C.. (Subs 2 id)
    print u
    print v

这将返回

-11
-5

表明构成顺序很重要，与Category法则相反。

您正确地将功能组合和关系组合标识为关联操作，然后出现以下问题：

既然我们称为合成的所有操作都已被证明是关联的，那么为什么我们将关联性作为合成操作的要求呢？

这个问题有两个细微的错误。

您假设我们称为复合的操作集合仅包含函数和关系复合。但是事实并非如此：我想我可以在一段时间内写下20-30个不同的类合成操作，每个类包含无限数量的实际合成操作！
您假定的因果关系是倒数。我们不是从一堆不同的事物开始，然后决定要求它们具有关联性。相反，首先，我们确定一些我们喜欢的条件（关联性，具有身份，类型正确），然后允许我们自己将“组成”标签附加到满足这些条件的任何操作上。

让我们以点（2）的样式为例。我们将首先建立一个我们感兴趣的数学结构，然后问：是否可以将其称为类别？

具有功能组合的设置

假设我提出了以下数学结构：

有大量的对象，每组可能一个。（该陈述不能用集合论来表述！但这没关系。如果我们不想这样做，我们就没有必须来进行集合论。）
每对对象都有一个箭头集合；也就是说，对于集合X和Y，每个函数的域为X且共域为Y的每个函数都有一个类型为X-> Y的箭头。
要组成两个箭头，我们使用集合论中的标准函数组合。

此结构是类别吗？正如您在问题中正确观察到的那样，答案是是，因为：

对于任何对象X，我们都可以创建类型为X-> X的箭头，对于该箭头，与其他箭头组成的对象将不起作用（即，函数将返回其输入不变）。
正如您正确观察到的，我们可以证明功能组合是有关联的。

带加号的数字

这是一个稍微简单的结构：

只有一个对象，名为X。
有一个X类型的箭头集合-> X；该集合中的每个自然数都有一个箭头。
要组成代表数字m和n的箭头，请产生代表数字m + n的箭头。

请注意，在此结构中，我们定义的合成操作既不是函数合成也不是关系合成！我们现在要问的问题是：在将标签组合物附加到此操作时，我们是在自欺欺人吗？还是称呼它为明智之举？

在这种情况下，答案是是，我们可以称其为composition（并将整个结构称为类别），因为：

我们可以创建一个类型为X-> X的箭头，对于该箭头，与其他箭头组成的东西什么都不做（即，代表数字0的箭头）。
众所周知，加法是关联的。

带加号的正数

对前面的示例进行一下轻微的修改怎么样？

只有一个对象，名为X。
有一个X类型的箭头集合-> X；此集合中的每个正自然数都有一个箭头。
要组成代表数字m和n的箭头，请产生代表数字m + n的箭头。

我可以将其称为类别吗？我可以在标签上加上“组成”这个标签吗？（请注意，该操作本身是与以前相同的操作！）在这种情况下，答案是否，我们不应该将此结构称为一个类别，我们不应该将此操作称为组合，因为尽管该操作是关联的，但没有箭头可以使其他箭头与它们组合时保持不变。

具有奇数幂的数字

另一种结构：

只有一个对象，名为X。
有一个X类型的箭头集合-> X；该集合中的每个自然数都有一个箭头。
要组合箭头m和n：
- 如果m或n中的任何一个为0，则返回另一个。例如，0和1的组成是1； 2和0的组成是2；并且0和0的组成是0。
- 否则，取幂m ^ n。

我们可以将此结构称为类别吗？最终操作是否可以标记为“组成”？在这种情况下，答案是否，因为尽管有一个箭头使其他人独自处于合成状态（即0），但是声称的合成操作并不具有关联性：

2^(1^2) = 2^1 = 2
(2^1)^2 = 2^2 = 4

通过一些工作，我们可以弄出一些更精美的示例，这些示例甚至以更微妙的方式（例如，通过关联但只有一个侧面的身份）未能通过类别定律。但是，到目前为止，我希望这种模式是明确的：类别定律是我们所使用的desiderata，并且在每种情况下，我们所做出的决定都是关于我们感兴趣的数学结构是否可以称为“类别”。（当然，即使该问题的答案为否，我们仍然可以对它感兴趣并对其进行研究！）

category-theory functional-programming haskell haskell

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