c，printf，double：获得超过15个十进制数字

问题描述

我正在实现一种简单的算法来估计c中的double的sqrt，类似于我在Java中学习的方法。

但是，当我使用printf（“当前猜测：％.30f \ n”，猜测）;打印我目前的猜测，我实际上得到了30位数的双精度数字。我的印象是，由于IEEE，双精度只能有15个十进制数字？这些数字从哪里来？

我的完整代码：

int main() {
// Finding the sqrt of x
double x = 1337.;
double high = x;
double low = 0.;
double guess;
double lastguess = -1.;
for(int i=0; i<1000; i++) {
    lastguess = guess;
    guess = low+(high-low)/2;
    if(compDouble(guess,lastguess)) {
        break;
    }
    if(guess*guess > x) {
        // Guess was too high
        // get the lower interval
        low = low;
        high = guess;
    } else {
        // Guess was too low,get the upper interval
        low = guess;
        high = high;
    }
    printf("Current guess: %.30f \n",guess);
}
printf("sqrt of %f is about %f",x,guess);
return 1;
}

输出：

Current guess: 668.500000000000000000000000000000 
Current guess: 334.250000000000000000000000000000 
Current guess: 167.125000000000000000000000000000 
Current guess: 83.562500000000000000000000000000 
Current guess: 41.781250000000000000000000000000 
Current guess: 20.890625000000000000000000000000 
Current guess: 31.335937500000000000000000000000 
Current guess: 36.558593750000000000000000000000 
Current guess: 39.169921875000000000000000000000 
Current guess: 37.864257812500000000000000000000 
Current guess: 37.211425781250000000000000000000 
Current guess: 36.885009765625000000000000000000 
Current guess: 36.721801757812500000000000000000 
Current guess: 36.640197753906250000000000000000 
Current guess: 36.599395751953125000000000000000 
Current guess: 36.578994750976562500000000000000 
Current guess: 36.568794250488281250000000000000 
Current guess: 36.563694000244140625000000000000 
Current guess: 36.566244125366210937500000000000 
Current guess: 36.564969062805175781250000000000 
Current guess: 36.565606594085693359375000000000 
Current guess: 36.565287828445434570312500000000 
Current guess: 36.565128445625305175781250000000 
Current guess: 36.565048754215240478515625000000 
Current guess: 36.565008908510208129882812500000 
Current guess: 36.565028831362724304199218750000 
Current guess: 36.565018869936466217041015625000 
Current guess: 36.565013889223337173461914062500 
Current guess: 36.565011398866772651672363281250 
Current guess: 36.565010153688490390777587890625 
Current guess: 36.565010776277631521224975585938 
Current guess: 36.565010464983060956001281738281 
Current guess: 36.565010620630346238613128662109 
Current guess: 36.565010542806703597307205200195 
Current guess: 36.565010581718524917960166931152 
Current guess: 36.565010601174435578286647796631 
Current guess: 36.565010591446480248123407363892 
Current guess: 36.565010596310457913205027580261 
Current guess: 36.565010598742446745745837688446 
Current guess: 36.565010597526452329475432634354 
Current guess: 36.565010598134449537610635161400 
Current guess: 36.565010597830450933543033897877 
Current guess: 36.565010597678451631509233266115 
Current guess: 36.565010597602451980492332950234 
Current guess: 36.565010597564452154983882792294 
sqrt of 1337.000000 is about 36.565011

解决方法

我的印象是，由于IEEE，双精度只能有15个十进制数字？

嗯，那是错误的。

尝试一下：

double d = 1.0e-45;
printf("d is %.60f \n",d);

输出：

d is 0.000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000 

如您所见，十进制数字多于15个。

小数位数取决于数字的值。很小的数字可以有很多十进制数字（首先是很多零），而很大的数字根本不能有任何十进制数字。一些非常大的数字甚至不能表示奇数。

标准64位双精度数可以具有的最小非零（正）值是2 ^-1074 ，即：

0.000......04940656.............47265625
            ^                          ^
            |                          |
            Decimal digit #324         Decimal digit #1074

使用以下代码尝试：

int main(void)
{
  assert(sizeof(double) == sizeof(uint64_t));

  union
  {
    uint64_t i;
    double d;
  } x;

  x.i = 1;  // The smallest non-zero positive double value
  printf("%.1100f \n",x.d);

  return 0;
}

,

我的印象是，由于IEEE，双精度只能有15个十进制数字？

这是不正确的。当double使用IEEE-754 binary64格式时，数字用有效位数（浮点数的“分数”部分）的53个二进制数字（位）表示，并带有符号和幂的两个（指数）。每个binary64数字精确地表示一个特定数字，并且它们相对于十进制数字不是均匀分布。

举一个简单的例子，考虑有效数字为1但指数变化的数字。例如，考虑+ 1•2 ⁰ （符号+，有效数1，指数0）。用十进制表示的是“ 1”，只有一位数字。那么+ 1•2 ⁻¹ 为“ .5”，仍仅为一位有效数字。 + 1•2 ⁻² 为“ .25”。尽管它的有效位数只是一个，但它有两个有效数字。紧随其后的是“ .125”，“。0625”，“ 0.03125”，依此类推。如您所见，即使有效位数仍然为1，十进制数字所需的有效数字位数也会增加。

因此，表示一个binary64数字所需的小数位数取决于有效位数和指数。

我们可以计算36左右的数字可能需要多少个十进制数字。因为10具有2的一个因数，所以Binary64的指数每次减小（减小为更大的负值）可能需要再加上一个小数位来表示：在0.5中，最后一位在10 ^-1 位置。在.25中，它处于10 ⁻² 位置，在.125中，它处于10 ^-3 位置，依此类推。

要表示36附近的数字，binary64必须使用5的指数，以便有效数的最高位（通常规范化为1到2之间，包括1但不包括2）被缩放为32。然后，在小数位数中，有效位数表示2 ⁵ ，2 ⁴ ，2 ³ ，…2 ^{5- 52} 。最低有效位2 ^5-52 是2 ⁻⁴⁷ 。

因此，当以十进制表示时，大约在36处的一些binary64数字将在小数点的左边有两位，在小数点的右边是47，因此它们将有49位有效的十进制数字。

binary64格式允许指数减小到−1022，这时有效位数的最低有效位被缩放为−1022−52 = −1074，因此以十进制表示最小的正Binary64值需要小数点后的1074位数字

,

IEEE DOUBLE大约有16个有效数字。也就是说，如果您查看代表DOUBLE的十进制数字字符串，则大约前16位之后的任何数字都将是“垃圾”。 （我忽略了前导零。）

因此，可以肯定，您可以显示 30位数字。但是只有前半部分可以信任。

继续研究平方根；有一个简单的算法可以平方收敛；你的似乎是线性的。