模拟随机变量Y

问题描述

我被赋予以下任务： 用R中的模拟计算Y = e ^ {-X}（X在0和1之间一致）的期望值。将期望值作为模拟次数的函数进行绘制，其中n是1到10000之间的整数 此函数的pdf为：f（y）= 1 / y，对于1 / e

寻找期望值的公式当然是：E [Y] =积分（y * 1 / y dy）

您如何模拟类似这样的内容？我希望您在（1 / e

我考虑过使用“样本”或“ runif”函数，但我不知道如何使这些函数以不同的概率工作。

解决方法

您可以使用以下事实：随机变量U = F（Y）是一致的，其中F是随机变量Y的累积密度函数（pdf 1 / y）。然后，您得到Y = F ^ -1（U）。这意味着您可以从一个统一变量中采样，然后通过F ^ -1（U）对其进行转换，从而从Y中获取一个样本。然后，您可以取样本的平均值。这就是所谓的inverse sampling transformation。

对于您的示例，您有F（y）= ln（y）+1和F ^ -1（u）= exp（u-1）。这样就很容易获得样本：

n = 1000
u = runif(n)
y = exp(u - 1)
mean(y)
0.6342477

非常接近0.6321206（1-1 / e）的真实平均值。

编辑

要查看估计平均值如何随模拟的样本数量而变化，可以执行以下操作：

sample_y = function(n){
  u = runif(n)
  y = exp(u - 1)
  mean(y)
}

n = seq(10,20000,10)
res = sapply(n,sample_y)
ts.plot(res)

随着n的增加，它很快就稳定在真实均值附近，并且均值附近的变化越来越小。