问题描述
假设我要均匀采样凸多边形内的点。
这里和互联网上最常见的方法之一是对多边形进行三角剖分，并使用不同的方案在每个三角形内部生成均匀的随机点。
我发现最实用的方法是从均匀的分布中生成指数分布，例如以-log（U）并将其归一化。
在Matlab中，我们可以使用以下代码在三角形内部进行均匀采样：
vertex=[0 0;1 0;0.5 0.5]; %vertex coordinates in the 2D plane
mix_coeff=rand(10000,size(vertex,1)); %uniform generation of random coefficients
x=-log(x); %make the uniform distribution exponential
x=bsxfun(@rdivide,x,sum(x,2)); %normalize such that sum is equal to one
unif_samples=x*vertex; %calculate the 2D coordinates of each sample inside the triangle
这很好用：
但是，对三角形以外的任何东西使用完全相同的方案只会失败。例如对于一个四边形，我们得到以下结果：
很显然，采样不再是统一的，添加的顶点越多，越难到达角点。
如果我首先对多边形进行三角剖分，那么在每个三角形中进行均匀采样就很容易，显然可以完成工作。
但是为什么呢？为什么必须先进行三角剖分？
哪个特定属性具有三角形（通常是单形，因为这种行为似乎扩展到n维结构），因此对它们有效，而对其他多边形无效。
如果有人能给我关于现象的直观解释，或者只是指向一些可以帮助我了解正在发生的事情的参考文献，我将不胜感激。
解决方法
我应该指出，并非一定要对多边形进行三角剖分以便从中进行均匀采样。采样形状的另一种方法是拒绝采样，过程如下。
- 确定一个覆盖整个形状的边界框。对于多边形，这就像查找多边形的最高和最低x和y坐标一样简单。
- 在边界框中随机选择一个点。
- 如果该点位于形状内，请返回该点。 （对于多边形，确定该多边形的算法统称为point-in-polygon predicates。）否则，请转到步骤2。
但是，有两个因素会影响此算法的运行时间：
- 时间复杂度在很大程度上取决于所讨论的形状。通常，此算法的接受率是形状的体积除以边界框的体积。 （特别是，对于高尺寸形状，接受率通常非常低，部分原因是尺寸的诅咒：典型形状比其边界框覆盖的体积要小得多。）
- 此外，算法的效率取决于确定一个点是否在所讨论的形状中的速度。因此，复杂形状通常是由更简单的形状（例如三角形，圆形和矩形）组成的，对于这些形状而言，很容易确定点是否位于复杂形状中或确定该形状的边界框。 / li>
请注意，原则上可以将拒绝采样应用于采样任何尺寸的任何形状，而不仅仅是凸面二维多边形。因此，它适用于圆形，椭圆形和弯曲形状等。
实际上，从原则上讲，多边形可以分解为除三角形以外的多种形状，其中一种形状按其面积成比例采样，并且该形状中的一个点通过拒绝采样随机采样。 >
现在，来解释一下您在第二张图片中给出的现象：
您拥有的不是4边（2维）多边形，而是投影到2维空间的3维单面体（即四面体）。 （另请参见先前的答案。）此投影解释了为什么“多边形”内的点在内部比在角落处显得更密集。您会看到为什么将“多边形”描绘成四面体，且四个角在不同深度的原因。随着单纯形尺寸的增大，这种现象变得越来越严重，这又部分是由于维数的诅咒。
,嗯，有比较便宜的方法来对三角形中的均匀样本进行采样。您要在单纯形d + 1中采样Dirichlet分布，并进行投影，计算指数等。我会请您参考代码示例和纸质参考文献here，它只有平方根，更简单的算法。
关于在复杂区域（在您的情况下为四边形）进行统一采样非常简单：
- 三角剖分。您将获得两个具有顶点（a，b，c） 0 和（a，b，c） 1 的三角形
- 使用f计算e的三角形区域A 0 和A 1 Heron's formula
- 第一步，根据面积随机选择一个三角形。 如果（random（） 0 /（A 0 + A 1 ））选择三角形0，否则选择三角形1。random（）应该返回float范围为[0 ... 1]
- 使用上述方法在选定三角形中采样点。
这种方法可以轻松地扩展到密度均匀的任何复杂区域的采样：N个三角形，按概率与面积成比例的分类分布采样将为您选择三角形，然后在三角形中采样点。
更新
我们必须进行三角剖分，因为我们知道很好的算法（快速，可靠，仅2次RNG调用，...）以均匀的密度在三角形中进行采样。然后，我们可以在此基础上进行构建，好的软件是关于可重用性的，然后选择一个三角形（以另一个rng调用为代价），然后再从中进行采样，总共进行三个RNG调用，以从任意区域，凸面和凸面进行均匀密度采样凹一样。我会说相当通用的方法。三角剖分是一个解决的问题， 基本上，您只需执行一次（对权重数组A i / A total 进行三角化并构建）并采样到无穷大。
答案的另一部分是，我们（准确地说，但我从事了大约20年的随机抽样工作），不知道有一种好的算法可以从任意凸点（大于3个）中以均匀密度进行精确采样。顶点封闭多边形。您提出了一种基于预感的算法，但没有成功。而且它不起作用，因为您使用的是d+1单工中的Dirichlet distribution并将其投影回d超平面。它甚至不能扩展到四边形，也不能与任意凸多边形联系。我可以推测，即使存在这样的算法，n顶点多边形也需要对RNG进行n-1次调用，这意味着没有三角剖分设置，但是每次获取一个点的调用都会相当昂贵。
关于采样复杂度的几句话。假设您进行了三角剖分，然后对RNG进行3次调用，您将在多边形内部均匀采样一个点。 但是对三角形数目N采样的复杂度充其量为O（log（N））。您基本上会对A i / A 总计的部分和进行二进制搜索。
您可以做得更好，使用三角形的Alias sampling进行O（1）（恒定时间）采样。成本会增加一些设置时间，但可能会与三角剖分融合在一起。同样，这将需要再进行一次RNG调用。因此，对于四个RNG调用，您将获得恒定的点采样时间，而与多边形的复杂度无关，适用于任何形状
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