问题描述
我一直在努力分析算法和数据结构作业。有了COVID-19和在线学习，就很难了！特别是因为我的教科书被拖延了:(。我想知道是否有任何一种灵魂可以帮助我分析这些O（n）问题。
我基本上理解它，但是在计算循环中的原始操作（例如for（i = 0; i
无论如何，我将它们放在下面。我会把我的有根据的猜测放在下面，顺便说一句。对我来说，最大的部分就是了解原始操作。即使我具有正确的复杂性，我仍然很难从数学上得出该解决方案。非常感谢您！
// #1 O(n)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
sum++;
// #2 O(n^2)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
for( j = 0; j < i; j++ )
sum++;
// #3 O(n^4)
sum = 0;
for( i = 0; i < n2; i++)
for( j = 0; j < i; j++)
sum++;
// #4 O(n^5)
sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
for( j = 0; j < i*i; j++)
for( k = 0; k < j; k++)
sum++;
解决方法
简单地说，时间复杂度是指代码在更改输入时将花费多少时间，并以n（输入大小）为单位。
// #1 O(n)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
sum++;
时间复杂度为O（n），因为您仅运行1个循环。如果n值为10，它将运行20次，如果n值为20，它将运行40次，依此类推。虽然时间复杂度增加了2n，但是我们舍弃了常数，并说时间复杂度为O（n），即时间复杂度相对于n呈线性变化。
// #2 O(n^2)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
for( j = 0; j < i; j++ )
sum++;
这里，外循环运行2n次，每2n次内循环将运行i次。如果计算不同n值的运算，您将看到循环运行更改的次数为n ^ 2，而不仅仅是n。 因此该时间复杂度为O（n ^ 2）。
// #3 O(n^4)
sum = 0;
for( i = 0; i < n2; i++)
for( j = 0; j < i; j++)
sum++;
这里，外循环运行n ^ 2次，每个外循环内循环将运行i次（平均为n ^ 2）。因此，外部n ^ 2 X内部n ^ 2为n ^ 4。因此时间复杂度为O（n ^ 4）。
// #4 O(n^5)
sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
for( j = 0; j < i*i; j++)
for( k = 0; k < j; k++)
sum++;
第一个循环运行n次，第二个循环平均运行n ^ 2次（i i为n n），第三个循环平均运行n ^ 2次（j将保持由于第二个循环，n ^ 2个差异值）。因此总时间复杂度将为O（n x n ^ 2 x n ^ 2）= O（n ^ 5）
,分析时间复杂度时，可以忽略n之前的所有数字，例如2n与n相同。因为当n无限大时，2等于1。（这也是分析O（）复杂度时的重点）
以＃4为例，i只是O（n），j是O（n ^ 2），k也是o（n ^ 2）。则总复杂度将是所有这些乘积的乘积，答案将是O（n ^ 5）。另一个例子＃2，我只是O（n），与j相同，则答案是O（n ^ 2）
,尝试从最内部的循环开始预测每个循环如何sum发生变化。您应该能够以这种方式得出精确的表达。例如。对于您的第二个示例（我添加了一个显式的乘法标记，希望这里是正确的解释）：
sum = 0;
for( i = 0; i < in pretty much the same way,except for the different series.2 * n; i++ )
for( j = 0; j < i; j++ )
sum++;
首先替换内循环：
sum = 0;
for(i = 0; i < 2 * n; i++)
sum += i;
这很简单。有i个迭代，每个sum递增1，因此完整的循环可以由sum += i代替。外循环有点棘手。我们将所有从0到2 * n的整数求和，所以
sum += 0 + 1 + 2 + ... + 2 * n - 1 + 2 * n
现在有一个众所周知的公式（或者只使用google或wolframalpha，它们都足以为像这样的简单情况找到封闭式）
1 + 2 + ... + n = n * (n + 1) / 2
使用此方法，我们现在还可以减少外部循环：
sum = 0
sum += 2 * n * (2 * n + 1) / 2 = 2*n^2 + n
现在剩下要做的就是从表达式中删除所有低阶项和系数：
sum = 2 * n^2 + n = O(n^2)