减少阶梯问题亚马逊面试问题的时间复杂度

问题描述

def step(n):
    if (n==0) or (n==1):
        return 1 
    elif n==2:
        return 2
    else:
        return step(n-1) + step(n-2) + step(n-3)
n = int(input())
print(step(n))

对于输入53798080，需要1秒钟。满足测试用例所需的时间要少得多。

解决方法

这种类型的问题-评估递归关系-多年来有很多聪明的人对其进行研究，这意味着您可以使用大量很酷的见解和想法来加快处理速度。

这些注释在确定为什么代码在大量输入时变慢的原因方面做得很好-这是因为您生成了大量重复的递归调用。那么问题是如何解决这个问题。

如果您要保持相同的基本策略，建议您使用memoization。如果您以前没有看过此技术，则基本思想是让递归跟踪已进行的调用并缓存这些调用的结果。然后，如果您尝试两次解决相同的问题，则只需交出缓存的结果即可。

用于记忆的常规模板如下所示。 （它是伪代码，但适应起来应该不太困难。）

def memoized_recursion(original_args,memoization_table):
    if memoization_table contains original_args):
        return memoization_table[original_args]
    else
        # Put the rest of your recursive code here.
        # Before returning a result,store it in memoization_table.

这大大减少了递归调用的次数，从而加快了代码的速度。

当然，这不是使代码更快的唯一解决方案。如果您必须保持递归，则可以使用另一种见解来从根本上改变策略。基本思想是这样。您正在生成一系列看起来像这样的数字：

1,1,2,4,7,13,24,...

这个想法是

• 前三个词是1、1、2；
• 此后的每一项是前三个数字的总和；和
• 您想要该系列的第n个术语。

如果您需要术语0、1或2，则只需阅读答案即可，因为您知道前三个数字。

如果没有，这是您可以使用的另一种技术。使用这个有用的事实，而不是获取之前的三个值并将它们加在一起：使用以1、1、2开头的序列的第n个项等效于以开头的序列的第（n-1）个项1、2、4（你明白为什么吗？）

更一般而言，如果系列的前三个项分别是a，b和c，而您想要第n个项，则可以要求序列的第（n-1）个从序列b，c开始的项，a + b + c。这提供了一种不同的递归策略，其中递归不分支，这意味着您不需要记忆。

现在，最后一个策略。您要解决的问题类型涉及称为 齐次线性递归关系 的问题。也就是说，您重复使用该表格

• a ₀ ，a ₁ ，...和a _k-1 是固定常数，并且
• a _{n + k} = c ₀ a _n + c ₁ a _{n + 1} + ... + c _k-1 a _{n + k-1} 。

这种重复发生包括斐波那契数列，佩尔数，帕多万序列等。

事实证明，在任何情况下，如果您要解决此类递归问题，都可以通过将特定选择的矩阵提升为特定幂来解决问题。在您的情况下，基本思想与第二种递归策略有关。这个想法是，如果序列的最后三个项是a，b和c，则您知道下一个项是a + b + c，而在此之前的两个项是b和c。换句话说，您可以想到将（a，b，c）变成（b，c，a + b + c）的映射。可以认为是这个矩阵方程：

| 0  1  0 | |a|   |     b     |
| 0  0  1 | |b| = |     c     |
| 1  1  1 | |c|   | a + b + c |

如果让M为最左边的矩阵，则计算Mn并将其乘以列向量（a，b，c）将得到第n个，第（n + 1）个和（n + 2）循环关系的术语。这给出了解决问题的完全不同的策略：建立矩阵，然后将其提高到更大的幂！

实际上，您可以非常高效地执行此操作。有一种称为exponentiation by squaring的（递归）技术可以仅使用O（log n）乘法来计算矩阵的n次幂。 （不幸的是，矩阵的条目将开始变得很大，将它们相乘将成为您的瓶颈）。不过，由于这是一种非常酷的技术，可能值得研究一下该策略！

最后，最后一个选择。如果您执行Google搜索，您会发现问题与找到第n个tribonacci number密切相关。您可以使用一些很酷的公式直接计算出该公式，还涉及数字的幂，尽管它们可能会引入一些舍入错误，从而使事情变慢了很多。