模式匹配两个列表，其类型取决于Coq

问题描述

我定义了此功能。

Inductive Euc:nat -> Type:=
|RO : Euc 0
|Rn : forall {n:nat},R -> Euc n -> Euc (S n).

Notation "[ ]" := RO.
Infix ":::" := Rn (at level 60,right associativity).

Fixpoint QE {A}(b c:Euc A) :=
 match b,c with
 |b':::bs,c'::: cs => (b'+c') ::: QE bs cs
 |_,_ => []
 end.

我遇到错误“术语[[]”的类型为“ Euc 0”，而预计其类型为“ Euc A””。

我如何告诉Coq Euc 0是Euc A？

解决方法

Coq不知道剩下的唯一模式是“ RO”构造函数，因此您无法返回空的Euc。 要解决此问题，只需删除_并专门区分大小写：

Fixpoint QE {A}(b c:Euc A) : Euc A.
 refine (match b,c with
 |RO,RO => _
 |H => ????
 end).
 

这迫使coq了解您正在处理特定的构造函数。 同样，Coq总是会实例化消除的新变量（类型不是），因此coq可能会抱怨bs和cs具有不同的索引。 coq vectordef库具有如何管理此问题的几个示例。 第一种方法，更成熟的方法是使用消除方案，请注意，您可以使用head和last破坏非零向量。 例如：

Definition rect_euc {n : nat} (v : Euc (S n)) :
   forall (P : Euc (S n) -> Type) (H : forall ys a,P (a ::: ys)),P v.
refine (match v  with
    |@Rn _ _ _ => _
    |R0 => _
  end).
apply idProp.
intros; apply H.
Defined.

现在，您只需要使用该方案来破坏两个向量，并保留两个向量的长度：

Fixpoint QE (n : nat) {struct n} : Euc n -> Euc n -> Euc n :=
  match n as c return Euc c -> Euc c -> Euc c with
    | S m => fun a => 
     (@rect_euc _ a _ (fun xs x b =>
         (@rect_euc _ b _ (fun ys y => (x + y) ::: @QE m xs ys))))
    | 0 => fun xs ys => []
   end.

或者，您可以使用coq策略记住两个索引相等：

Fixpoint QE' (n : nat) (b : Euc n) : Euc n -> Euc n.
refine (match b in Euc n return Euc n -> Euc n with
    |@Rn m x xs => _    
    |@RO => fun H => []
 end).

remember (S m).
intro H; destruct H as [| k y ys].
inversion Heqn0.
inversion Heqn0.
subst; exact ((x + y) ::: QE' _ xs ys).
Defined.