寻找生成N对唯一的无冲突课程对的方法的数量

问题描述

我遇到了这个问题，无法想到一个好的解决方案。问题如下

有N项CS课程和N项EEE课程，都编号为1，2，...，N。

对于每个i，j（1≤i，j≤N），CS路线i和EEE路线j的相容性以整数Aij给出。如果Aij = 1，则CS路线i和EEE路线j不冲突；如果Aij = 0，则会发生冲突。

Ravan正在尝试制作N对，每对包含不冲突的CS路线和EEE路线。在这里，每个CS课程和每个EEE课程都必须完全属于一对。

找到Ravan可以制作N对的模数，取模10 ^ 9 + 7。

Ex.

0 1 1
1 0 1
1 1 1

res : 3
Explanation 
Here there are 3 ways to make pairs:

(1,2),(2,1),(3,3)

(1,3),1)

(1,2)

Where (i,j) is pair of CS i course and EEE j course

为解决上述问题，我编写了一个简单的dfs函数，但这似乎是不正确的。而且这是一个非常慢的实现。我的方法如下：

int counter=0;

void dfs(vector<vector<int>>&nums,int n,vector<bool>&visit,int c){
    
    if(c == n-1){
        counter++;
        return;
    }
    
    for(int i=0; i<n; i++){
        if(nums[i][c]==0 || visit[i])continue;
        visit[i] = true;
        dfs(nums,n,visit,c+1);
        visit[i] = false;
    }
    
}

void solve(vector<vector<int>>&nums,int n){
    vector<bool>visit(n,false);
    dfs(nums,0);
    cout << counter%1000000007;
}

我在为这个问题的正确方向思考吗？还有什么可以解决这个问题的呢？任何帮助都是有价值的。谢谢！

解决方法

这只是@amit注释的扩展，看起来像是包含-排除。

首先，我们采用多种方法制作N对。这就是N!。在您的示例中，该值为6。

all sets of pairs
(1,1),(2,2),(3,3)
(1,3),2)
(1,1)
(1,1)

然后，对于不需要的每对，我们减去制作N对（包括禁止对）的方法数量。此类对的数量乘以(N-1)!。在您的示例中，该数字为4。（2对，每对分为两组N对。）

Contains forbidden pair (1,2)

Contains forbidden pair (2,1)

但是制作N对（包括2对禁止对）的方式现在已被减去两次。 （也就是说，我们将(1,3)加一次，减去两次，现在以-1计数。）因此，我们需要重新添加它们。重新添加1：

Contains both forbidden pairs (1,3)

如果存在一组3个禁止对，则我们必须将其重新添加。但是没有。所以我们的最终计算结果是：

6 - (2 + 2) + 1

根据需要给出3。

那么，如何对更大的N进行此计算呢？我们知道如何计算N!，(N-1)!，(N-2)!等。棘手的是，有多少对禁止配对，2对，3对等等。

为此，我们可以使用动态编程。构建dp，使dp[k][l]是l禁止对(i,j)的集合数，这些集合可以一起出现在i <= k的分配中。我们从dp[0] = [1,...]开始。 dp[N]会为您提供所有可以分配给每个大小的禁止对对的计数。

在您的示例中，该结构应该结束：

dp = [
    [1,0],[1,1,2,]

我们从中获得计算结果

3! * dp[3][0] - 2! * dp[3][1] + 1! * dp[3][2] + 0! * dp[3][3]
  = 6 * 1 - 2 * 2 + 1 * 1 - 1 * 0
  = 3

那足以让你前进。