线性规划问题，成本最低

问题描述

一家建筑公司有6个项目，每个项目都需要$d_i$个工人。在项目1的开始阶段，公司没有工人。

每位新工人必须参加一次安全培训，费用为300，每位工人另加50。 如果没有新工人，就没有课程。

解雇一名工人不会花费任何金钱，也无法再雇用该工人。

鉴于每个项目的工人工资为100，提出了一个线性规划问题，该问题使工人的成本最小化。

我尝试过的事情：

让$x_i$是项目$i$的新工人数。

让$y_i$为先前项目到项目$i$为止的剩余旧工人数（所有雇用的工人-所有被解雇的工人）

让$z_i$成为指标，使$z_i =0 \iff x_i>0$

我要解决的功能是：

$\min(\sum_{i=1}^6 150x_i + 300(1-z_i) + 100y_i)$

s.t：

\begin{align}
x_i,y_i,z_i &\ge 0 \\
z_i &\ge 1-x_i \\
y_i + x_i &\ge d_i \\
y_i &\ge y_{i-1} + x_i
\end{align}

我觉得有些不对劲。主要原因是我尝试使用matlab解决此问题，但失败了。

我做错了什么？我该如何解决这个问题？

解决方法

当我正确看到这一点时，您在约束中就有两个小错误。

当您使用z_i >= 1-x_i时，第一个出现。这允许z_i始终取值为1，这将永远不会给您带来300的额外开销。您需要对z_i进行上限，以使拥有{{1 }}。对于此约束，您需要一个名为big M的东西。对于足够大的x_i>0，您可以使用M。这样，当z_i <= 1-x_i/M可以有x_i=0时，否则右侧小于1，并且由于完整性z_i=1必须为零。请注意，您通常希望选择尽可能紧凑的z_i。因此，在您的情况下，M可能是一个不错的选择。

第二个小错误在于d_i。这样，您可以将y_i >= y_{i-1} + x_i增加到y_i，而不必设置任何y_{i-1}。要强制x_i增加，需要消除不平等。此外，通过您定义x_i的方式，该不等式应参考y_i。因此，您应该以{{1​​}}结尾。另外，您需要注意一些极端的情况（即x_{i-1}）

我认为通过这两个更改，它应该可以工作。让我知道它是否对您有帮助。如果仍然无法正常工作，我可能已经错过了一些东西。