求解广义特征向量和特征值以获得公共基础

问题描述

我正在寻找在 Matlab 中解决广义特征向量和特征值问题。为此，我测试了两种方法。

1. 如果广义问题被表述为：

然后，我们可以在每一边乘以 B^(-1)，例如：

所以，从理论上讲，这是一个简单而经典的特征值问题。

最后，在 Matlab 中，我简单地使用了 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc ：

[Phi,Lambda] = eig(inv(FISH_xc)*FISH_sp);

但是当我在一个简单的 Fisher 合成之后做出的结果是不正确的（约束条件太差，并且还会出现 nan 值。我不知道为什么我得到的结果与第二个不同下面。

2. 第二种方法来自以下 paper。

总而言之，所使用的算法在第 7 页进行了描述。我遵循了该算法的所有步骤，并且在进行 Fisher 合成时似乎可以提供更好的结果。

这里是感兴趣的部分（抱歉，我认为 stakoverflow 上没有 Latex）：

这里是我的这个方法的小 Matlab 脚本：

% Diagonalize A = FISH_sp and B = Fish_xc
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Applying each  step of algorithm 1 on page 7
phiB_bar = V2*(D2.^(0.5)+1e-10*eye(7))^(-1);
bara = inv(phiB_bar)*FISH_sP*phiB_bar;
[phiA,vA] = eig(bara);
Phi = phiB_bar*phiA;

所以最后，我找到了 phi 特征向量矩阵 (phi) 和 lambda 对角矩阵 (D1)。

3. 现在，我想将这个广义问题与 A 和 B 矩阵（分别是 Fish_sp 和 Fish_xc）之间的最终公共特征向量联系起来。有没有办法执行此操作？

确实，我到现在所做的就是找到A*Phi和B*Phi之间的平行关系，由Lambda对角矩阵链接。也许，我们可以这样安排这种关系：

A*Phi'=Phi'*Lambda_A'

和

B*Phi'=Phi'*Lambda_B'

4. 从数字的角度来看，为什么我在 1) 中的方法和 3) 中的方法之间没有得到相同的结果？我的意思是关于 Phi 特征向量矩阵和 Lambda 对角矩阵。

然而，这是相同的表述。

编辑：

如果我想说 phi 对 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 矩阵都对角化，我会得到错误的结果。

确实如此：

% Marginalizing over uncommon parameters between the two matrices
COV_GCsp_first = inv(FISH_GCsp);
COV_XC_first = inv(FISH_XC);
COV_GCsp = COV_GCsp_first(1:N,1:N);
COV_XC = COV_XC_first(1:N,1:N);
% Invert to get Fisher matrix
FISH_sp = inv(COV_GCsp);
FISH_xc = inv(COV_XC);
% Diagonalize
[V1,D2] = eig(FISH_xc);

% Build phi matrix
% V2 corresponds to eigen vectors of FISH_xc
phiB_bar = V2*diag(diag(D2.^(-0.5)));
% DEBUG : check identity matrix => OK,Identity matrix found !
id = (phiB_bar')*FISH_xc*phiB_bar
% phi matrix
bara = (phiB_bar')*FISH_sP*phiB_bar
[phiA,vA] = eig(bara);
phi = phiB_bar*phiA;

% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues found !
FISH_sP*V1./V1
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues found !
FISH_xc*V2./V2

% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK,not identical eigenvalues 
FISH_sP*phi./phi
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK,not identical eigenvalues 
FISH_xc*phi./phi

所以，我没有发现特征向量矩阵 Phi 对角化 A 和 B，因为预期的特征值不是相同值的列。

顺便说一下，我发现特征值 D1 和 D2 来自：

[V1,D2] = eig(FISH_xc);

% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues D1 found !
FISH_sP*V1./V1
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues D2 found !
FISH_xc*V2./V2

我该如何解决这个错误的结果（我说的是比率：

FISH_sP*phi./phi
FISH_xc*phi./phi

对于给定的 FISH_sp 和 FISH_xc 列没有给出相同的值） ) ??在论文中，他们说 phi 使 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 对角化，但我无法重现它。

如果有人能看到我的错误在哪里......

解决方法

您定义了 barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar。从方程。 (39) 在手稿中，它看起来应该是 barA = transpose(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar。

此外，当 B 是单数时（逆不存在），您的方法 1 失败。但是，如果我没记错的话，MATLAB 的 eig(A,B) 也应该处理单数 B。