问题描述
我试图调查其矩为 Catalan numbers 的概率分布,并得出了
qcatmo <- function(p,k=4){ (qbeta(p/2+1/2,3/2,3/2)*2 - 1)^2 * k }
colMeans(outer(qcatmo(ppoints(10^6)),0:10,"^"))
# 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
效果很好。但是后来我尝试从这个分布中生成随机值,并找到了三种可能的方法(A 使用我已经知道的分位数函数应用于 runif
,B 使用内置的 rbeta
函数稍微更直接,和 C 使用一种带有 runif
) 的拒绝采样形式,在大样本上使用时具有明显不同的速度:
rcatmoA <- function(n,k=4){ qcatmo(runif(n),k) }
rcatmoB <- function(n,k=4){ (rbeta(n,3/2)*2 - 1)^2 * k }
rcatmoC <- function(n,k=4){
n0 <- ceiling(n*4/pi + 7*sqrt(n) + 35)
x0 <- runif(n0)^2
y0 <- runif(n0)^2
x0[x0 + y0 < 1][1:n] * k
}
进行基准测试时给出了
library(microbenchmark)
n <- 10^4
microbenchmark(
rcatmoA(n,4),rcatmoB(n,rcatmoC(n,4)
)
#Unit: microseconds
# expr min lq mean median uq max neval cld
# rcatmoA(n,4) 22817.2 23014.95 23259.688 23186.95 23322.80 25128.9 100 c
# rcatmoB(n,4) 1526.5 1534.40 1615.255 1541.30 1607.15 4952.1 100 b
# rcatmoC(n,4) 781.5 788.70 884.339 795.00 813.80 7266.2 100 a
我的问题是:
解决方法
正如您所发现的,有不同的方法可以执行相同分布(在本例中为 beta 分布)的随机变量生成。
- 我认为 A 版本是最慢的,因为 beta 分布的分位数没有封闭形式,因此
qbeta
必须求助于数值反演(变得更加困难,因为 beta 分布的 CDF,正则化 beta 函数,是通常仅称为积分)。事实上,正如qbeta
的源代码所示,分位数函数远非微不足道。 Look at the R source code。 - B 版本所依赖的
rbeta
的源代码使用了 Cheng (1978) 的 beta 分发算法。在这种特殊情况下,使用算法 BB,它使用拒绝采样器(并且每次迭代至少需要两个对数)。相比之下,C 版本采用了更简单的拒绝条件。 Cheng 的算法是多年来为 beta 分布提出的众多算法之一,L. Devroye 在 Non-Uniform Random Variate Generation 中提到了 1986 年及更早的算法。