问题描述
我一直在开发实时工作的C语言控制软件。该软件尤其实现了受控系统的离散状态空间观察器。为了实现观察者，有必要计算4x4维矩阵的逆。逆矩阵计算必须每50微秒完成一次，值得一提的是，在这段时间里，还将进行其他耗时的计算。因此，逆矩阵计算必须消耗少于50微秒的时间。还必须说，所使用的DSP不具有支持浮点运算的ALU。
我一直在寻找一种有效的方法来做到这一点。我有一个想法是准备用于计算矩阵4x4的行列式的通用公式和用于计算4x4矩阵的伴随矩阵的通用公式，然后根据下面给出的公式计算逆矩阵。
您如何看待这种方法？
解决方法
据我了解，研究数字线性代数的人们之间的共识是，建议避免避免不必要地计算矩阵逆。例如，如果A的倒数仅出现在您的控制器中，例如
z = inv(A)*y
然后最好（更快，更准确）求解z方程
A*z = y
than计算inv（A），然后将y乘以inv（A）。
求解此类方程式的常用方法是将A分解为更简单的部分。例如，如果A是（严格地）正定的，则cholesky factorization会找到下三角矩阵L，因此
A = L*L'
鉴于我们可以通过以下方式为z求解A * z = y：
solve L*u = y for u
solve L'*z = u for z
考虑到L的三角形性质，每一个都很容易
另一种因式分解（同样仅适用于正定矩阵）是LDL，在您的情况下，它可能更容易，因为它不涉及平方根。在上面链接的Wiki文章中对此进行了描述。
更一般的因式分解包括LUD和QR，它们的通用性更高，因为它们可以应用于任何（可逆）矩阵，但比cholesky慢一些。
这种分解也可以用来计算逆。
时髦地描述您的帖子中的adj（A）是伴随的，也许有点过时了；我认为裁判或辅助手段更现代。无论如何，adj（A）都不是转置。相反，adj（A）的（i，j）元素最多等于符号，它是通过删除第i行和第j列从A获得的矩阵的行列式。有效地进行计算很尴尬。