限制仙人掌图上的有向路径

问题描述

我想找到cactus graph上具有特定限制定向路径的最长路径距离。

例如，如果我们有以下4个节点，

这意味着

• 如果我们访问1，我们将无法再访问2

即，不允许1→2和1→3→2。 但是，允许2→1。

类似

• 不能从2行驶到3

• 不能从3行驶到1

• 不能从1到0行驶

• 可以旅行其他任何人

因此，我们有可能的路径（1、3、2），（0、2、1），依此类推。因此，最长距离是3，而我们永远不会得到4。

在这种情况下，答案是9。（4、5、6、7、8、0、9、2、3），等等...

我在这个问题上停留了一个星期。我仍然不知道该如何处理。谢谢。

解决方法

观察1：当且仅当该节点集合诱导没有循环的子图时，该节点集合上才存在路径*。证明：如果存在一个循环，则我们无法访问该循环的所有节点，因为该循环中位于其之前的节点禁止访问最后一个节点。如果没有循环，则反转子图中的所有弧，并找到拓扑顺序。

观察2：此问题等效于经典的NP难题minimum feedback vertex set，该问题要求删除其消除所有周期的最小节点集。

在声明的仙人掌图中有有效的反馈顶点集算法，例如Das (2012)。

*这个问题的路径似乎是用非标准的方式定义的，因为节点序列是无重复的，因此对于图中的每个弧，弧的头部不会出现在尾部之后。这是与示例图（4、5、6、7、8、0、9、2、3）的解决方案相符的定义，该示例图中有多个不通过弧线连接的连续顶点。