用于计算广义二项式定理分子的矢量化方法？

我正在尝试使用矢量化方法编写广义二项式定理，其中n可以是任何有理数。公式如下图所示。

每个项的分子为n，n×（n-1），n×（n-1）×（n-2）等。我已将n分配给0.5，并试图生成5个项。

到目前为止，我有分子的乘积数组： [0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5] 使用

def num_products(number_of_terms):
    r = np.arange(1,number_of_terms+1)
    num_prod = np.array(n-r+1)
    return num_prod

但是要为每个术语创建一个分子数组，如下所示（数组中的每个项目都用逗号分隔）：

[0.5、0.5×-0.5、0.5×-0.5×-1.5、0.5×-0.5×-1.5×-2.5、0.5×-0.5×-1.5×-2.5×-3.5]

有人知道如何使用数组（向量化方法）吗？我正试图使其很快地计算出项，以便可以有更多的项并提高结果的准确性。

每个术语x*(x-1)*(x-2)*...*(x - n + 1)被称为falling factorial。维基百科文章还描述了上升阶乘 x*(x+1)*...*(x + n - 1)。一些计算库包括这些的实现。例如，mpmath具有mpmath.ff和mpmath.rf。

SciPy将上升阶乘实现为scipy.special.poch。下降阶乘可以按照上升阶乘来实现，如

from scipy.special import poch


def ff(x,m):
    return poch(x - m + 1,m)

因为poch被实现为NumPy的“ ufunc”，所以它处理广播，因此ff也是如此。这意味着您可以传递一个m值数组，一次调用即可计算所有相应的下降阶乘。

例如，要获取n = 0.5的广义二项式的前六个分子项（包括初始项1），请调用ff(0.5,np.arange(6))：

In [38]: ff(0.5,np.arange(6))
Out[38]: array([ 1.,0.5,-0.25,0.375,-0.9375,3.28125])

与[1,0.5×-0.5,0.5×-0.5×-1.5,0.5×-0.5×-1.5×-2.5,0.5×-0.5×-1.5×-2.5×-3.5]相同：

In [40]: [1,0.5*-0.5,0.5*-0.5*-1.5,0.5*-0.5*-1.5*-2.5,0.5*-0.5*-1.5*-2.5*-3.5]
Out[40]: [1,3.28125]

因此，如果您不介意对SciPy的依赖，则可以使用上面定义的ff来完成所需的工作。

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