了解用于获取多项式时间算法的几何改进方法

问题描述

我正在阅读网络流-理论，算法和应用程序，但我坚持以下定理的证明（第3章，第67页）：

定理。假设?^?是算法的??ℎ迭代时最小化问题的某些解的目标函数值，?^ ∗是最小目标函数值。此外，假设该算法保证每次迭代?，

（1）（?^?-?^（?+ 1））≥?（?^?-?^ ∗）

（即迭代?+ 1的改进至少是总可能改进的1/3倍），且常数

证明。数量（?^?−?^ ∗）表示??ℎ迭代后目标函数值的总可能改进。考虑从迭代starting开始的连续2 /?迭代序列。如果算法的每个迭代将目标函数值提高至少?（?^?-?^ ∗）/ 2个单位，则该算法将在这2 /?个迭代中确定最佳解。取而代之的是，假设算法在?+ 1的某个迭代中将目标函数值提高了不到?（?^?-?^ ∗）/ 2个单位。换句话说，

（2）?^?-?^（?+ 1）≤?（?^?-?^ ∗）/ 2。

不等式（1）表示

（3）?（?^?-?^ ∗）≤?^?-?^（?+ 1）

不等式（2）和（3）暗示着

（?^?−?^ ∗）≤（?^?−?^ ∗）/ 2，

因此，该算法将总可能的改进（reduced ^?−?^ ∗）减少了至少2倍。因此，我们证明了在2 /?连续迭代中，该算法要么获得了最佳解，要么降低了可能的总改进量至少为2倍。由于possible是最大可能的改进，并且每个目标函数值都是整数，因此算法必须在?（（????）/ ?）次迭代中终止。

为什么作者要关注2 / a迭代？

解决方法

我认为这样写是为了让计算机科学家更容易理解，我们每2 /α轮将整数数量减半，因此2 /α轮的超级轮数将为O（log）。没有特别的原因，我们不能更直接地进行数学运算：

T(n) is the gap between the nth solution and an optimal solution.

T(n) ≤ (1 - α) T(n-1) [assumption]


                   n
T(n) ≤ T(0) (1 - α)   [by induction]

              -α n                 x
     < T(0) (e  )     [by 1 + x < e  for x ≠ 0]


                       -α (ln T(0))/α
T((ln T(0))/α) < T(0) e

               = 1,

因此(ln T(0))/α足以满足要求。