有没有一种有效的方法在删除边后在生成树图中查找组件的大小？

问题描述

我的任务是在具有Q个节点的生成树图中高效处理N个查询。

每个查询都涉及到我需要处理的一条边，我应该输出图中删除该边后剩余的两个分量的大小。

我当前的想法是从该边缘连接的两个节点启动DFS，确保DFS永不跨越边缘本身。这样，我就能在O(N)的时间内找到两个组件的大小，总复杂度为O(Q * N)。

但是，我认为可以进行某种预处理来进一步降低解决方案的时间复杂度，但我只是想不出那是什么。有人可以指出我正确的方向吗？

解决方法

好吧，这是我刚想出的一种策略：

首先，找到一个度数完全为1（保证在生成树图中存在的节点；它被称为“叶”）。从该节点运行DFS，并保留一个变量count，该变量表示到目前为止已被访问的节点数。每次遍历一条边缘时，由于树的特殊属性（具体而言，之间只有一条路径，因此，删除该边缘形成的两个分量的大小必须等于count和N - count）任何一对节点）。这样就产生了具有O(N)预处理和O(1)查询应答的算法，总时间复杂度为O(N + Q)。