允许相邻一种颜色的索引着色问题的优化

问题描述

我遇到了这个索引着色问题（不完全是典型的Graph m着色问题），我尝试使用回溯来解决该问题，但是该解决方案仅适用于价值较低的测试用例，而由于指数时间复杂性而无法解决较大的测试用例

如何优化它，使其不会在指数时间内运行。有DP解决方案吗？

问题陈述：

您将获得3个变量：n，k，x

n->要着色的索引数

k->可用颜色数量-> 1,2,3，... K

x->颜色ID，可用于为两个相邻的索引着色。

您必须为 n个索引着色 放置在具有 k种颜色的x轴上，使得没有两个相邻的 索引具有相同的颜色。 但是，还会给您 x colorID ，这是上述规则的例外，因此它 允许有两个相邻的节点，其颜色为colorID = colorID。

在遵循上述规则的同时，您必须找出可以为所有索引着色的总数。

示例。对于，n = 3 k = 2 x = 1：所有可能的解是：（1,1,1），（1,2），（1,1），（2,1），（ 2,2）

以下是我的解决方法。

public class ColoringIndices {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 17;
        int k = 4;
        int x = 3;
        placeColors(n,k,x);
    }

    static int count = 0;

    private static void placeColors(int n,int k,int x) {
        int currpos = 0;
        int[] arr = new int[n];
        placeColorsUtil(n,x,currpos,arr);
        System.out.println(count % 1000000007);
        count = 0;
    }

    private static void placeColorsUtil(int n,int x,int currpos,int[] arr) {
        if(currpos == n){
            int mod = 1000000007;
            count = count % mod;
            count++;
            return;
        }

        for (int colorId = 1; colorId <= k; colorId++) {
            if (isSafe(colorId,arr,x)) {
                arr[currpos] = colorId;
                placeColorsUtil(n,currpos + 1,arr);
            }
        }
    }

    private static boolean isSafe(int colorId,int[] arr,int x) {
        if (currpos < arr.length && currpos > 0) {
            if (colorId != x && arr[currpos - 1] == colorId) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

解决方法

是的，DP是最后着色的索引是否为x。我们有两次复发

X(n) = number of valid sequences of length n ending in x
Y(n) = number of valid sequences of length n not ending in x

X(1) = 1
Y(1) = k-1

X(n+1) = X(n) + Y(n)
         |  |   \__/
          \/     continue sequence not ending in x with x
           continue sequence ending in x with another x

Y(n+1) = (k-1) X(n) + (k-2) Y(n)
         |        |   \________/
         |        |    continue sequence not ending in x in k-2 possible ways
          \______/     (excluding the last color (not x in this case) and x)
           continue sequence ending in x in k-1 possible ways (excl. x)

可以在时间O(n)进行评估。答案是X(n) + Y(n)（如果0为零，则返回n。

为便于后人使用，我将尝试获取一种分析解决方案。嗯，k的存在使这一点不那么有趣。实际上，您只是在评估矩阵的适当功效

( 1   1 )
(k-1 k-2)

无论如何。