在Coq上使用Coqelicot进行偏微分

问题描述

我想部分区分那些期望n个参数代表任意自然数n的函数。我希望仅将任意一个论点区分开，而不是其他。

Require Import Reals.
Open Scope R_scope.

DeFinition myFunc (x y z:R) :R:=
 x^2 + y^3 + z^4.

用y区分3*(y^2)时，我期望函数myFunc。

我在partial_derive中认识Coquelicot。

DeFinition partial_derive (m k : nat) (f : R → R → R) : R → R → R :=
  fun x y ⇒ Derive_n (fun t ⇒ Derive_n (fun z ⇒ f t z) k y) m x.

partial_derive可以部分地区分f:R → R → R，但对于任意数量的参数则不可能。

我考虑过使用依赖类型的listR。

Inductive listR :nat -> Type:=
|RO : Euc 0
|Rn : forall {n},R -> listR n -> listR (S n).

Notation "[ ]" := RO.
Notation "[ r1,..,r2 ]" := (Rn r1 .. ( Rn r2 RO ) .. ).
Infix ":::" := Rn (at level 60,right associativity).

Fixpoint partial_derive_nth {n} (k:nat) (f : listR n -> R) (e:listR n): listR n -> R:=

k指定要区分的参数编号。 我们无法像partial_derive那样定义partial_derive_nth，因为我们无法在递归中指定fun的参数名称。

请告诉我如何部分区分具有任意数量参数的函数。

解决方法

对于函数myFunc，您可以这样编写偏导数：

Definition pdiv2_myFunc (x y z : R) :=
 Derive (fun y => myFunc x y z) y.

然后您可以证明它具有x，y和z任意选择中所期望的值。借助Coquelicot中提供的策略，大多数证明可以自动完成。

Lemma pdiv2_myFunc_value (x y z : R) :
   pdiv2_myFunc x y z = 3 * y ^ 2.
Proof.
unfold pdiv2_myFunc,myFunc.  
apply is_derive_unique.
auto_derive; auto; ring.
Qed.

自动策略auto_derive不能处理Derive _ _ = _形式的目标，我感到有些惊讶，因此我必须自己应用定理is_derive_unique。