给定一个点和大量的四面体，如何有效地确定该点在哪个四面体中

问题描述

假设我们定义一个点为元组 三个浮点数和一个四面体四个点的元组。

假设我们有一个四面体和一个点，我们可以确定 点属于四面体，遵循 How to check whether the point is in the tetrahedron or not? 此处的关键思想是确定该点是否在四面体的四个侧面的内侧。

我的问题。给定一个点和N个四面体，其中N约为700万，我需要确定该点位于哪个四面体中。我们将关注以大量分数进行重复测试的性能。

其他信息：

1. 一个人可以使用上述方法逐个检查这些四面体。但是考虑到我的四面体数量很多，那可能太慢了。

2. 问题设置中有一个特定要点。这些四面体是 从FEM（有限元法）问题中获得，用于求解 医学成像问题（它们形成患者的大脑）。也许FEM本身与问题无关，但是我们可以利用这样的事实，即这些四面体彼此相邻，并且在这些四面体所模拟的空间中没有“空洞”。

3. 四面体在相邻边界上没有交点。因此，除非在边界处，否则这个问题应该有一个唯一的解决方案，在这种情况下，让任何一个相交的四面体都可以解决我的问题。

4. 在输入上没有给出四面体的特定顺序。关于四面体的形状是否规则没有规定。

关于有效解决问题的任何想法？解决此问题的首选Python。

谢谢！

解决方法

您可以首先过滤四面体，仅保留边界长方体（与X，Y和Z轴平行）包含 p 的四面体。测试起来更快：

所以找到四面体-点 t ₀ ，t ₁ ，t ₂ 和 t ₃ -关于点 p 具有以下属性：

• ∃ i，j：t _i ^x ≤p ^x ≤t _j ^x
• ∃ i，j：t _i ^y ≤p ^y ≤t _j ^y
• ∃ i，j：t _i ^z ≤p ^z ≤t _j ^z

平均而言，这将只剩下几个四面体（通常只有一个或两个），然后您可以使用这些四面体进行点对四面体测试。

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如果您打算针对同一组四面体测试很多点，那么我肯定会进行预处理步骤并为四面体构建空间结构。

在我的评论中，我提到了八叉树，但是知道四面体填充了空间（没有孔），我认为不需要对空间进行自适应细分，最好将其分成相等的部分。

1. 将空格分成相等的框（将其命名为SpaceBoxes）。
2. 在每个SpaceBox中，保留与框碰撞的四面体列表。

• 为加快速度，我将测试四面体的边界框，而不是四面体本身。
• 请注意，此步骤可以相对便宜地完成-您知道SpaceBox具有相同的大小，知道它们的位置，因此，给定四面体的边界框，就很容易找到SpaceBox候选对象。

现在，具有这种空间结构：

针对要测试的点p

• 找到相应的SpaceBox O（1）
• 您拥有所有与SpaceBox碰撞的四面体，因此这些都是要测试的候选对象
• p与每个四面体的边界框的第一次测试碰撞
• 只有那时，四面体本身

请注意，测试的性能主要取决于每个SpaceBox中四面体的数量。

假设空间是一个立方体：

• 将每个边缘细分为16个部分，即可获得16 ^ 3 = 4096个SpaceBoxes
• N = 7000000，大约应测试1709个候选四面体

此外，在实现方面，预处理和测试多点都看起来像数据并行问题，因此多处理可能会有所帮助。