多功能算法的最坏情况渐近运行时间计算

编程问答 2022-07-26

问题描述

int coffee(int n) {
    int s = n * n;
    for (int q = 0; q < n; q++)
        s = s - q;
    for (int q = n; q > 0; q--)
        s = s - q;
    return s + 2;
}

int mocha(int n) {
    int r = 0;
    for (int i=0; i<=n; i = i+16)
        for (int j=0; j<i; j++)
            r++;
    return r;
}

int fun(int n) {
    int j=0;
    for (int k = 16; coffee(k) * mocha(k) - k <= n; k+=16) {
        j++;
        cout << "I am having so much fun with asymptotics!" << endl;
    }
    return j;
}

  1. 如何计算“ fun”函数的最坏情况渐近运行时间？ 我确定咖啡的运行时间为$ \ Theta（n）$，而摩卡咖啡的运行时间为$ \ Theta（n ^ 2）$ 但是我从那里去哪里？

  2. 计算函数的返回值。假设n> 2，并且n是一个完美的正方形。 我只是不确定从哪里开始这个问题。

解决方法

在我们分析运行时间复杂度的算法之前，在渐近分析的上下文中需要注意的一点（参考：1，2）是O（f（n））表示最坏的情况（上限）而不是Θ（f（n））。

您已经正确提到了O(n)的最坏情况渐近运行时间coffee和O(n2)的{​​{1}}，其中mocha是相应输入的大小功能。

现在，查看您的多功能算法，很明显，功能n是输入fun的入口点。 n（使用fun遍历n，因此此代码块的运行时复杂度最差的情况为k。

O(n)

对于for (int k = 16; /* coffee(k) * mocha(k) */ - k <= n; k+=16) { j++; cout << "I am having so much fun with asymptotics!" << endl; } 的每个值，将调用k和coffee，因此它们将被调用mocha次，总共被调用n/16。因此，下面是正确计算函数O(n)的最坏情况渐近运行时间的逻辑：

fun

O(fun) = O( O(n/16) * ( O(coffee) + O(mocha) ) ) = O( O(n/16) * ( O(n) + O(n^2) ) ) = O( O(n^2 / 16) + O(n^3 / 16) ) ≃ O(n^3) 可以简化为O( O(n2/16) + O(n3/16) )，因为O(n3)是公式n3中的关键因素。

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