累积同质转换：轮换有效，但翻译不起作用？

问题描述

我有3个点云（云0，云1和云2），它们是使用陆地激光扫描仪在3个不同位置获得的。这些云在它们之间重叠，这意味着存在一个刚性的3D身体变换T，可以将一个云正确地注册到另一个云上。我有两个这样的转换，即T10，它将云1移动到云0； T20，将云2移动到云0（选择云0作为全局参考）。问题是，如何找到与云2和云1重叠的转换？我已经找到旋转，但是找不到平移矢量。有可能吗？

我通过将变换T20乘以T10的逆来发现旋转，因为T10 ^（-1）= T01，因此，T20 * T01 = T21。当我将这种转换应用于云2时，它会将云2正确地旋转到云1（两者都在同一方向上），但是它们之间有一个偏移，我不明白为什么。

这些变换只是齐次矩阵T（4x4），它们只是旋转矩阵R（3x3）和平移矢量t（3x1）的交集，对吗？可以组成旋转。我发现从云2到云1的旋转这一事实表明了这一点。但是为什么这种转变会出现在翻译中？

实际上，我有几个云，要注册一个远离原点的云，我需要通过乘法来累加几个变换（例如：T50 = T54 * T43 * T32 * T21 * T10），我乘以的次数越多差异更大。

我想说的是，尽管乘法会累积错误，但是它们很小，因为注册是手动完成的，并由ICP进行完善。实际上，成对应用任何转换都会导致几乎完美的重叠，但是累加它们会导致转换产生巨大偏差。旋转是如此之好，以至于闭环实际上产生了单位矩阵。

解决方法

您是否忽略了旋转对翻译的影响？

如果您有一个具有旋转R和平移v的变换T，以及另一个具有旋转Q和平移v的变换S，那么将T和S应用于点x的效果是得到y，其中

y = Q*(R*x+v) + u = Q*R + Q*v + u 

这是组合的变换具有旋转

P = Q*R

和翻译

w = Q*v + u

由此可知，与T的逆变换具有旋转

inv(R)

和翻译

- inv(R)*v

我们通常可以用4x4矩阵表示这种转换，以这种方式构成和应用转换可简化为矩阵乘法。但是请注意，这要付出一定的效率代价。

上面的

S和T将由4x4矩阵M和N表示。

M = ( Q u)
  = ( 0 1)
N = ( R v)
    ( 0 1)

然后，组合变换T的代表L就是S

   L = M*N

要将S应用于我们计算的点x

M*(x)
  (1)

和结果的前三个组成部分是变换点的组成部分。